Tema 5. Números enteros

Números positivos y negativos, conjuntos numéricos, valor absoluto, opuesto, operaciones con números enteros y operaciones combinadas.

1. Números positivos y negativos. Recta numérica

Existen muchas situaciones que no se pueden expresar únicamente mediante números naturales.

Por ejemplo, necesitamos números negativos para representar temperaturas bajo cero, plantas de un edificio situadas bajo el nivel de la calle, deudas o profundidades bajo el nivel del mar.

Los números enteros están formados por:

Los números enteros positivos: 1, 2, 3, 4...
El número 0.
Los números enteros negativos: −1, −2, −3, −4...

La recta numérica

Los números enteros pueden representarse sobre una recta. El 0 sirve como punto de referencia: los positivos se sitúan a su derecha y los negativos a su izquierda.

Importante:

En la recta numérica, un número es mayor que otro si se encuentra más a la derecha.

−7 < −3 < 0 < 2 < 8

2. Conjuntos numéricos

Los conjuntos numéricos se nombran utilizando diferentes letras.

Números naturales:

ℕ = {1, 2, 3, 4, 5, ...}

Números enteros:

ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}

Los números naturales están incluidos dentro de los números enteros. A su vez, los enteros forman parte de los racionales y todos ellos pertenecen a los números reales.

La relación que debes recordar es:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Los números irracionales también pertenecen a ℝ, pero no pertenecen a ℚ.

Ejemplo 1 · Clasificar números

Vamos a clasificar los siguientes números:

3 −12 4/3 −3/2 √2

Número	Conjunto más pequeño al que pertenece
3	Natural ℕ
−12	Entero ℤ
4/3	Racional ℚ
−3/2	Racional ℚ
√2	Irracional

Ejercicios propuestos I · Conjuntos numéricos

1. Clasifica los siguientes números según el conjunto al que pertenecen y ordénalos de menor a mayor:

3
100
−12
√4 = 2
4/3
−3/2
−3²

h) ¿Cuáles de ellos pertenecen a los números racionales?

3. Valor absoluto y opuesto de un número

Valor absoluto

El valor absoluto de un número es la distancia que existe entre dicho número y el cero.

Se representa colocando el número entre dos barras:

|n|

Como representa una distancia, el valor absoluto nunca es negativo.

Ejemplo 2 · Valor absoluto

|−3| = 3

|−2/3| = 2/3

|5| = 5

|−√2| = √2

Opuesto de un número

El opuesto de un número es el número situado a la misma distancia del cero, pero al otro lado de la recta numérica.

op(a) = −a

Ejemplo 3 · Opuesto de un número

op(−3) = 3

op(−2/3) = 2/3

op(5) = −5

op(−√2) = √2

Observa: un número y su opuesto tienen el mismo valor absoluto, pero signos contrarios.

4. Suma y resta de números enteros

Regla para sumar números enteros

Mismo signo: se suman sus valores absolutos y se mantiene el signo.
Distinto signo: se restan sus valores absolutos y se coloca el signo del número que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplo 4 · Suma y resta de números enteros

2 + 3 = 5

−3 − 5 = −8

5 − 3 = 2

2 − 7 = −5

−5 + 3 = −2

Ejercicios propuestos II · Suma y resta

1. Realiza las siguientes operaciones

1 + 4
−2 − 8
10 − 3
10 − 13
−7 + 3
−15 + 3

2. Realiza las siguientes operaciones

2 + 3 − 8 + 7
−3 − 5 + 15 − 6
−15 + 11 − (−3) + 8
2 − (−5) − 7 + 2

▶ Vídeo 1 · Suma y resta de números enteros

▶ Vídeo 2 · Suma y resta de números enteros

5. Multiplicación y división de números enteros

Para multiplicar o dividir números enteros debemos tener en cuenta la regla de los signos.

Signos	Resultado
(+) · (+)	+
(+) · (−)	−
(−) · (+)	−
(−) · (−)	+
(+) : (+)	+
(+) : (−)	−
(−) : (+)	−
(−) : (−)	+

Forma sencilla de recordarlo:

Signos iguales → resultado positivo.
Signos diferentes → resultado negativo.

Ejemplo 5 · Aplicamos la regla de los signos

(−4) · (−3) = 12

(−20) : 5 = −4

18 : (−6) = −3

(−24) : (−8) = 3

Ejercicios propuestos III · Multiplicación y división

1. Copia y completa las tablas

Tabla 1

a	b	a · b
−7		14
	−4	−12
−5		20
6	−3

Tabla 2

a	b	a : b	op(a : b)
18			9
	−5	4
−14			2
	8	−3

2. Calcula

−2 · (−3) : 6
5 · (−6) : 3
(−4) : 2 · (−15)

3. Problema · El submarino

Un submarino realiza una maniobra de inmersión. Para ello, baja 3 metros cada 10 segundos.

¿Cuál será su posición con respecto al nivel del mar al cabo de un minuto?

6. Operaciones combinadas con números enteros

Para resolver correctamente una operación combinada debemos respetar la jerarquía de las operaciones.

Paréntesis y corchetes.
Multiplicaciones y divisiones.
Sumas y restas.

Recuerda: cuando encontramos varias operaciones con la misma prioridad, operamos de izquierda a derecha.

Ejemplo 6 · Operaciones combinadas

Calcula:

5 + 3 · (3 · 2 − 10) − (4 + 3) · 2 + 9

1. Resolvemos los paréntesis:

= 5 + 3 · (6 − 10) − 7 · 2 + 9

= 5 + 3 · (−4) − 7 · 2 + 9

2. Realizamos las multiplicaciones:

= 5 − 12 − 14 + 9

3. Sumamos y restamos de izquierda a derecha:

= −12

Ejemplo 7 · Operación combinada con fracciones

Calcula:

7 − (−12 + 7/4 · 2) + (5/2 − 17/4) · 3

= 7 − (−12 + 7/2) + (10/4 − 17/4) · 3

= 7 − (−17/2) + (−7/4) · 3

= 7 + 17/2 − 21/4

= 28/4 + 34/4 − 21/4

= 41/4

Ejercicios propuestos IV · Operaciones combinadas y problemas

1. Calcula, simplificando siempre que sea necesario

12 − (−9 + (−3) · 2) − 5 + (7 − 12)
−25 + 7 − (4 − 3 · 2) + (4 − 5) · 2
−12 + 5 · (5 − 7) − (4 · 3 − 7) + 1
7 + 5 − (5 · 2 − 1) · 4 − (7 − 10)
17 − (−12 · 2 + 5) − 4 · 2 + 1

2. Realiza las siguientes operaciones respetando su jerarquía

−12 · 3 + 4 − 2 · 3
14 : 7 − 9 : 3 − 2 · 3
−2 · 3 + 125 : 5 − 8 : 2
2 − 16 : 2 − 3 · 2

3. Calcula y simplifica siempre que sea necesario

−12 − (2 − 3) + 3 : (1 − 2)
−7 + (−3) · 2 − (27 : 3 − 6) · 4
−2 · 5 − (2 · 3 − 4) + (−7) · (2 − 5)
−15 − 2 · 4 + (−45) : (6 − 7 · 3)

4. Problema · El depósito

Un depósito se está llenando con un grifo que vierte 20 litros cada minuto.

Cuando el depósito contiene 750 litros, se abre un conducto por el que se pierden 25 litros por minuto.

¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que se vacíe el depósito? Expresa la operación realizada y calcula el resultado.

5. Problema · La temperatura del caldo

Mónica pone a calentar un caldo que está a una temperatura de 18 °C, haciendo que suba 15 °C.

Después cambia de opinión y decide meterlo en el congelador. Sabiendo que el caldo se congela a −4 °C, ¿conseguirá congelarlo si la temperatura del caldo baja 46 °C?

7. Situación de aprendizaje · Una estación meteorológica

Situación

Durante una semana de invierno vamos a estudiar cómo cambia la temperatura de una localidad a lo largo del día.

Para describir temperaturas por encima y por debajo de 0 °C necesitaremos utilizar números enteros positivos y negativos.

Producto final

Cada grupo elaborará un pequeño informe meteorológico en el que aparecerán las temperaturas registradas, sus variaciones y los cálculos realizados con números enteros.

Datos registrados

Hora	Temperatura
00:00	−3 °C
06:00	−7 °C
10:00	−2 °C
14:00	6 °C
18:00	2 °C
22:00	−4 °C

Retos

Representa las seis temperaturas en una recta numérica.
Ordena las temperaturas de menor a mayor.
¿Cuál fue la temperatura más baja? ¿Y la más alta?
Calcula la diferencia entre la temperatura máxima y la mínima.
Entre las 06:00 y las 10:00, ¿cuántos grados aumentó la temperatura?
Entre las 14:00 y las 22:00, ¿cuántos grados descendió?
Calcula el valor absoluto de cada temperatura. ¿Qué significado tiene en este contexto?
¿Cuál es el opuesto de −7? ¿Y el opuesto de 6?
Si después de las 22:00 la temperatura baja 2 °C cada hora durante tres horas, ¿qué temperatura habrá al finalizar?
Explica mediante una operación combinada cómo has obtenido la respuesta anterior.

Producto final

Dato	Resultado
Temperatura máxima
Temperatura mínima
Diferencia máxima-mínima
Variación 06:00 → 10:00
Variación 14:00 → 22:00
Temperatura final

Antes de entregar, comprueba:

¿He utilizado correctamente los signos + y −?
¿He ordenado correctamente los números enteros?
¿Sé interpretar el valor absoluto?
¿Sé calcular el opuesto de un número?
¿He aplicado correctamente la regla de los signos?
¿He respetado la jerarquía de las operaciones?
¿He incluido las unidades °C en las respuestas?
¿He explicado matemáticamente mis resultados?

8. Soluciones de los ejercicios propuestos

Cuando hayas terminado todos los ejercicios, puedes consultar las soluciones para comprobar tus resultados.

✓ Ver soluciones de los ejercicios propuestos

Aquí puedes consultar las soluciones completas de los ejercicios propuestos del tema.

Ver soluciones

9. Exámenes de otros años

▶ Ver vídeo · Repaso antes de realizar los exámenes

Realiza estos exámenes después de estudiar el tema y completar los ejercicios propuestos.

Examen I · Números enteros

Realiza el examen sin consultar los apuntes y comprueba después tus resultados.

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Examen II · Números enteros

Segundo examen de cursos anteriores para seguir practicando la unidad.

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Examen III · Números enteros

Tercer examen para comprobar si dominas todos los contenidos del tema.

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10. Tutor socrático

💬 Tutor socrático · Números enteros

Si te bloqueas en un ejercicio, puedes utilizar el tutor socrático.

El tutor no está pensado para darte directamente la respuesta: te ayudará mediante preguntas, pistas y pequeños pasos para que seas tú quien encuentre la solución.

Antes de utilizarlo, intenta resolver el ejercicio por tu cuenta e identifica exactamente en qué paso tienes la dificultad.

Abrir el tutor socrático

Al terminar este tema deberías saber...

Distinguir números positivos y negativos.
Representar números enteros en la recta numérica.
Comparar y ordenar números enteros.
Reconocer los conjuntos ℕ, ℤ, ℚ y ℝ.
Comprender la relación ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Distinguir números racionales e irracionales.
Calcular el valor absoluto de un número.
Calcular el opuesto de un número.
Sumar y restar números enteros.
Multiplicar y dividir números enteros.
Aplicar correctamente la regla de los signos.
Resolver operaciones combinadas respetando su jerarquía.
Utilizar números enteros para resolver problemas de situaciones reales.

Matestube

martes, 3 de enero de 2023

1ESO: NÚMEROS ENTEROS