Tema 6. Proporcionalidad y porcentajes
Proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa, porcentajes, aumentos y disminuciones porcentuales.
1. Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando los cocientes entre las cantidades correspondientes son constantes.
El número k recibe el nombre de constante de proporcionalidad directa.
× 2
× 2
Si una magnitud aumenta al doble, triple, cuádruple..., la otra también aumenta al doble, triple, cuádruple...
Ejemplo 1 · Rocío entrena para una maratón
Rocío corre alrededor de una pista a ritmo constante. Su amigo Pablo anota el tiempo que tarda en completar diferentes números de vueltas.
| Vueltas | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|
| Tiempo (min) | 4 | 8 | 12 | 20 | 40 |
Comprobamos los cocientes:
Como todos los cocientes son iguales, las magnitudes son directamente proporcionales.
¿Cuántas vueltas habrá dado en 60 minutos?
Ejercicios propuestos I · Proporcionalidad directa
1. Indica si las siguientes parejas de magnitudes son o no directamente proporcionales:
- La distancia en centímetros que separa dos poblaciones en un mapa y la distancia real en kilómetros.
- Cantidad de alimento y tiempo que podría sobrevivir un náufrago.
- El área de un rectángulo y su perímetro.
- En una fiesta de cumpleaños hay una determinada cantidad de refrescos y de invitados. Si aumenta el número de invitados, ¿qué relación habrá entre el número de invitados y el de refrescos?
2. Copia la tabla y responde:
| X | 5 | 15 | 18 | 19 | 25 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Y | 25 | 75 | 90 | 95 | 225 |
- ¿De qué tipo de proporcionalidad se trata y por qué?
- Calcula la constante de proporcionalidad.
3. Completa la siguiente tabla sabiendo que la proporcionalidad entre las magnitudes es directa:
| A | 4 | 2 | 7 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| B | 20 | 60 | 100 |
4. Por tres horas de trabajo, Alberto ha cobrado 60 €. ¿Cuánto cobrará por 8 horas?
5. Trescientos gramos de queso cuestan 6 €. ¿Cuánto queso podré comprar con 4,50 €?
6. Por 5 días de trabajo he ganado 390 €. ¿Cuánto ganaré por 18 días?
7. Una máquina embotelladora llena 240 botellas en 20 minutos. ¿Cuántas botellas llenará en hora y media?
▶ Vídeo 1 · Proporcionalidad directa
▶ Vídeo 2 · Proporcionalidad directa
2. Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando los productos de las cantidades correspondientes son constantes.
El número k es la constante de proporcionalidad inversa.
× 2
÷ 2
Si una magnitud aumenta al doble, la otra disminuye a la mitad. Si aumenta al triple, la otra disminuye a la tercera parte.
Ejemplo 2 · Raquel lee un libro de 300 páginas
Raquel tiene que leer un libro de 300 páginas. Según el número de páginas que lea cada día, variará el número de días que tardará.
| Páginas al día | 10 | 20 | 25 | 30 | 40 | 50 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Días | 30 | 15 | 12 | 10 | 7,5 | 6 |
Comprobamos:
Por tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales.
Si lee 12 páginas al día:
Ejercicios propuestos II · Proporcionalidad inversa
1. Completa la siguiente tabla sabiendo que las magnitudes son inversamente proporcionales:
| A | 4 | 2 | 16 | ||
|---|---|---|---|---|---|
| B | 20 | 16 | 100 |
2. Con una cierta cantidad de dinero se pueden comprar 20 bolígrafos a 60 céntimos la unidad. Con la misma cantidad de dinero, ¿cuántos bolígrafos se podrán comprar si el precio aumenta a 75 céntimos?
3. Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán dos obreros?
4. Un camión a 60 km/h tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un coche a 120 km/h?
5. Un coche que circula a 100 km/h necesita 20 minutos para recorrer la distancia entre dos pueblos. ¿Qué velocidad deberá llevar para realizar el recorrido en 16 minutos?
▶ Vídeo · Proporcionalidad inversa
3. Porcentajes
Los porcentajes expresan la razón entre dos magnitudes directamente proporcionales e indican la cantidad que corresponde cuando una de ellas es exactamente 100.
Decir que el 80 % de los alumnos practica deporte significa:
Es decir, de cada 100 alumnos, 80 practican deporte.
Ejemplo 3 · Calcular un porcentaje
Calculamos el 45 % de 1040:
Ejemplo 4 · Conocer la cantidad inicial
El 50 % de una cantidad es 63. ¿Cuál es la cantidad?
4. Aumentos y disminuciones porcentuales
Ejemplo 5 · Alumnos de un conservatorio
En un conservatorio había 150 alumnos. El año siguiente aumentó la matrícula un 10 %.
Al año siguiente disminuye un 20 % respecto a los 165 alumnos.
Ejemplo 6 · Subida y bajada del precio de una vivienda
Una vivienda costaba 350 000 €. Su precio aumenta primero un 24 %.
Posteriormente disminuye un 36 %:
Ejercicios propuestos III · Porcentajes
1. Calcula:
- 18 % de 12 500.
- 25 % de 1600.
- 4 % de 4.
- 18 % de 12 500.
2. Calcula los siguientes porcentajes:
24 % de 4000
20 % de 750
16 % de 1000
46 % de 2000
32 % de 5000
40 % de 500
70 % de 370
180 % de 20
3. En el aparcamiento de unos grandes almacenes hay 280 coches, de los que el 35 % son blancos. ¿Cuántos coches hay que no sean blancos?
4. El 15 % de la plantilla de un club de fútbol está lesionada. Si la plantilla consta de 20 jugadores, ¿cuántos sufren lesiones?
5. Para el cumpleaños de mi hermano han comprado dos docenas de pasteles y yo me he comido 6. ¿Qué porcentaje del total me he comido?
6. En una clase hay 10 alumnos morenos y 7 rubios. ¿Qué porcentaje representan los alumnos según su color de pelo?
7. Halla el precio final de unos pantalones que costaban inicialmente 30 € y a los que se aplican dos rebajas sucesivas del 20 % y del 30 %.
8. ¿Cuánto costará un abrigo de 325 € si se aplica primero una rebaja del 10 % y después se aumenta un 15 % el precio resultante?
9. A un trabajador que ganaba 1750 € mensuales le aumentan el sueldo un 8 % y posteriormente se lo reducen un 5 % respecto al nuevo salario. ¿Cuál será su nuevo salario?
▶ Vídeo 1 · Porcentajes
▶ Vídeo 2 · Porcentajes
5. Situación de aprendizaje · Preparamos una merienda para la clase
La clase va a organizar una merienda. Sois los responsables de preparar la cesta de la compra y una receta para todo el grupo.
Tendréis que recuperar contenidos de números, divisibilidad, cambios de unidades, proporcionalidad y porcentajes.
Parte 1 · La cesta de la compra
Disponemos de un presupuesto máximo de 45 €.
| Producto | Formato | Precio |
|---|---|---|
| Leche | 1 L | 1,05 € |
| Harina | 1 kg | 1,35 € |
| Huevos | Docena | 2,40 € |
| Manzanas | 1 kg | 1,80 € |
| Chocolate | 250 g | 2,25 € |
| Zumo | 1,5 L | 1,65 € |
Retos de números y unidades
- Expresa 1,5 L de zumo en mililitros.
- Expresa 250 g de chocolate en kilogramos.
- Si compramos 3 kg de manzanas, ¿cuántos gramos hemos comprado?
- Calcula cuánto cuestan: 2 kg de harina, 3 kg de manzanas, 2 docenas de huevos y 4 botellas de zumo.
- Calcula el coste total de esa compra. ¿Cuánto dinero queda de los 45 €?
Parte 2 · Divisibilidad: organizamos la merienda
En la actividad participarán 24 alumnos.
- Queremos formar grupos con el mismo número de alumnos sin que sobre nadie. ¿Podemos hacer grupos de 2, 3, 4, 5, 6 y 8? Justifica utilizando los criterios de divisibilidad.
- Escribe todos los divisores de 24.
- Tenemos 36 piezas de fruta y 24 porciones de bizcocho. Queremos preparar el mayor número posible de bandejas iguales, sin que sobre nada. ¿Cuántas bandejas podemos preparar?
- ¿Cuántas piezas de fruta y cuántas porciones de bizcocho habrá en cada bandeja?
Parte 3 · Adaptamos una receta
| Ingrediente | Cantidad |
|---|---|
| Harina | 300 g |
| Azúcar | 200 g |
| Leche | 250 mL |
| Huevos | 4 |
| Chocolate | 100 g |
Necesitamos preparar el bizcocho para 24 personas.
- ¿Qué relación existe entre el número de personas y la cantidad de ingredientes?
- Calcula la razón entre 24 personas y las 8 personas de la receta original.
- Calcula la cantidad necesaria de cada ingrediente.
- Expresa la harina necesaria en kilogramos.
- Expresa la leche necesaria en litros.
- ¿Cuántos paquetes de chocolate de 250 g necesitamos comprar?
- ¿Cuántas docenas de huevos necesitamos comprar?
Parte 4 · Oferta del supermercado
El supermercado ofrece un 20 % de descuento en el chocolate.
- ¿Cuánto se descuenta en cada paquete de chocolate?
- ¿Cuál será el nuevo precio de cada paquete?
- Calcula cuánto ahorramos en total.
- Vuelve a calcular el coste de la cesta aplicando el descuento.
Producto final
Cada grupo deberá presentar una hoja de planificación de la merienda que incluya:
- Lista de la compra.
- Cambios de unidades realizados.
- Organización de los 24 alumnos.
- Cálculo mediante MCD de las bandejas.
- Receta adaptada de 8 a 24 personas.
- Cálculos de proporcionalidad.
- Descuento aplicado.
- Coste final.
- Dinero restante del presupuesto.
- ¿He trabajado correctamente con números decimales?
- ¿He cambiado correctamente de g a kg y de mL a L?
- ¿He utilizado los criterios de divisibilidad?
- ¿He calculado correctamente los divisores?
- ¿He identificado cuándo utilizar el MCD?
- ¿He reconocido una proporcionalidad directa?
- ¿He adaptado correctamente la receta?
- ¿He calculado correctamente el porcentaje?
- ¿He incluido las unidades en los resultados?
- ¿He comprobado que no superamos el presupuesto?
6. Soluciones de los ejercicios propuestos
Cuando hayas terminado los ejercicios, puedes consultar las soluciones para comprobar tus resultados.
✓ Soluciones de todos los ejercicios propuestos
Consulta aquí las soluciones de los ejercicios de proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa y porcentajes.
7. Exámenes de otros años
▶ Vídeo · Repaso antes de realizar los exámenes
Cuando hayas terminado el tema, puedes comprobar tus conocimientos con exámenes de cursos anteriores.
Examen I · Proporcionalidad y porcentajes
Examen II · Proporcionalidad y porcentajes
Examen III · Proporcionalidad y porcentajes
8. Tutor socrático
💬 Tutor socrático · Proporcionalidad y porcentajes
Si te bloqueas en un ejercicio, puedes utilizar el tutor socrático.
No está pensado para darte directamente la respuesta. Te ayudará mediante preguntas, pistas y pequeños pasos para que encuentres la solución por ti mismo.
Antes de utilizarlo, intenta plantear el problema e identifica exactamente qué parte no sabes continuar.
- Reconocer magnitudes directamente proporcionales.
- Calcular la constante de proporcionalidad directa.
- Resolver problemas mediante proporcionalidad directa.
- Reconocer magnitudes inversamente proporcionales.
- Calcular la constante de proporcionalidad inversa.
- Resolver problemas de proporcionalidad inversa.
- Interpretar un porcentaje como una razón sobre 100.
- Calcular el porcentaje de una cantidad.
- Calcular una cantidad conociendo uno de sus porcentajes.
- Resolver aumentos porcentuales.
- Resolver disminuciones porcentuales.
- Resolver correctamente porcentajes sucesivos.
- Aplicar proporcionalidad y porcentajes a situaciones reales como compras y recetas.
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