Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas
3.º ESO · Sustitución, igualación, reducción y método gráfico.
1. ¿Qué es un sistema?
Una ecuación lineal con dos incógnitas tiene la forma ax + by = c, donde a y b no son ambos cero. Las incógnitas no aparecen elevadas al cuadrado ni multiplicadas entre sí.
Un sistema reúne dos ecuaciones que deben cumplirse a la vez. Escribiremos sus ecuaciones una debajo de otra:
x + y = 5
x − y = 1
Resolverlo consiste en encontrar los valores de x e y que verifican las dos ecuaciones.
La solución es x = 3, y = 2, porque:
3 + 2 = 5
3 − 2 = 1
También se escribe (3, 2): primero x y después y.
2. Método de sustitución
Consiste en despejar una incógnita y sustituir su expresión en la otra ecuación.
- Despeja una incógnita en una ecuación.
- Sustituye esa expresión en la otra.
- Resuelve la ecuación resultante.
- Calcula la incógnita que falta y comprueba.
Ejemplo 1 · Una incógnita ya despejada
Sistema:
y = x + 1
2x + y = 7
1. Sustituimos y por x + 1 en la segunda ecuación:
2x + (x + 1) = 7
2x + x + 1 = 7
3x + 1 = 7
3x = 7 − 1
3x = 6
x = 6 : 3
x = 2
2. Calculamos y:
y = x + 1
y = 2 + 1
y = 3
Solución: (2, 3).
3. Comprobamos las dos ecuaciones originales:
3 = 2 + 1 → 3 = 3 ✓
2 · 2 + 3 = 7 → 7 = 7 ✓
Ejemplo 2 · Despejamos antes de sustituir
Sistema:
x + y = 7
3x − 2y = 1
1. Despejamos x en la primera ecuación:
x + y = 7
x = 7 − y
2. Sustituimos en la segunda ecuación y resolvemos:
3(7 − y) − 2y = 1
21 − 3y − 2y = 1
21 − 5y = 1
−5y = 1 − 21
−5y = −20
y = (−20) : (−5)
y = 4
3. Calculamos x:
x = 7 − y
x = 7 − 4
x = 3
Solución: (3, 4).
4. Comprobamos:
3 + 4 = 7 ✓
3 · 3 − 2 · 4 = 9 − 8 = 1 ✓
Ejemplo 3 · Una solución negativa
Sistema:
x − y = 2
2x + 3y = −1
1. Despejamos x en la primera ecuación:
x − y = 2
x = y + 2
2. Sustituimos en la segunda ecuación:
2(y + 2) + 3y = −1
2y + 4 + 3y = −1
5y + 4 = −1
5y = −1 − 4
5y = −5
y = −1
3. Calculamos x:
x = y + 2
x = −1 + 2
x = 1
Solución: (1, −1).
4. Comprobamos:
1 − (−1) = 1 + 1 = 2 ✓
2 · 1 + 3 · (−1) = 2 − 3 = −1 ✓
Vídeo · CLASE 3.1: Método de sustitución
3. Método de igualación
Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones e igualar las expresiones obtenidas.
- Despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.
- Iguala las expresiones.
- Resuelve la ecuación resultante.
- Calcula la otra incógnita y comprueba.
Ejemplo 1 · Despejamos y en las dos ecuaciones
Sistema:
x + y = 8
2x − y = 1
1. Despejamos y en la primera ecuación:
x + y = 8
y = 8 − x
2. Despejamos y en la segunda ecuación:
2x − y = 1
2x − 1 = y
y = 2x − 1
3. Igualamos las dos expresiones de y:
8 − x = 2x − 1
8 + 1 = 2x + x
9 = 3x
x = 3
4. Calculamos y:
y = 8 − x
y = 8 − 3
y = 5
Solución: (3, 5).
5. Comprobamos:
3 + 5 = 8 ✓
2 · 3 − 5 = 6 − 5 = 1 ✓
Ejemplo 2 · Despejamos x en las dos ecuaciones
Sistema:
x + 2y = 7
x − y = 1
1. Despejamos x en ambas ecuaciones:
x = 7 − 2y
x = 1 + y
2. Igualamos y resolvemos:
7 − 2y = 1 + y
7 − 1 = y + 2y
6 = 3y
y = 2
3. Calculamos x:
x = 1 + y
x = 1 + 2
x = 3
Solución: (3, 2).
4. Comprobamos:
3 + 2 · 2 = 3 + 4 = 7 ✓
3 − 2 = 1 ✓
Ejemplo 3 · Igualación con denominadores
Sistema:
2x + y = 8
3x − y = 7
1. Despejamos x en ambas ecuaciones. Los paréntesis indican que se divide todo el numerador:
2x = 8 − y
x = (8 − y) / 2
3x = 7 + y
x = (7 + y) / 3
2. Igualamos las expresiones:
(8 − y) / 2 = (7 + y) / 3
3. Multiplicamos ambos miembros por 6 para eliminar los denominadores:
3(8 − y) = 2(7 + y)
24 − 3y = 14 + 2y
24 − 14 = 2y + 3y
10 = 5y
y = 2
4. Calculamos x:
x = (8 − 2) / 2
x = 6 / 2
x = 3
Solución: (3, 2).
5. Comprobamos:
2 · 3 + 2 = 6 + 2 = 8 ✓
3 · 3 − 2 = 9 − 2 = 7 ✓
Vídeo · CLASE 3.2: Método de igualación
4. Método de reducción
Consiste en sumar las ecuaciones para eliminar una incógnita. Para ello, sus coeficientes deben ser opuestos.
- Elige la incógnita que quieres eliminar.
- Si es necesario, multiplica una o ambas ecuaciones para obtener coeficientes opuestos.
- Suma las ecuaciones y resuelve.
- Calcula la otra incógnita y comprueba.
Ejemplo 1 · Los coeficientes ya son opuestos
Sistema:
x + y = 6
x − y = 2
1. Sumamos las ecuaciones. Como y − y = 0, desaparece y:
(x + y) + (x − y) = 6 + 2
x + x + y − y = 8
2x = 8
x = 4
2. Calculamos y en la primera ecuación:
4 + y = 6
y = 6 − 4
y = 2
Solución: (4, 2).
3. Comprobamos:
4 + 2 = 6 ✓
4 − 2 = 2 ✓
Ejemplo 2 · Multiplicamos una ecuación
Sistema:
2x + y = 7
3x − 2y = 0
1. Multiplicamos la primera ecuación por 2 para obtener +2y:
2 · (2x + y) = 2 · 7
4x + 2y = 14
El sistema equivalente queda:
4x + 2y = 14
3x − 2y = 0
2. Sumamos las ecuaciones:
4x + 3x + 2y − 2y = 14 + 0
7x = 14
x = 2
3. Calculamos y en la primera ecuación original:
2 · 2 + y = 7
4 + y = 7
y = 3
Solución: (2, 3).
4. Comprobamos:
2 · 2 + 3 = 7 ✓
3 · 2 − 2 · 3 = 6 − 6 = 0 ✓
Ejemplo 3 · Multiplicamos las dos ecuaciones
Sistema:
2x + 3y = 13
3x − 2y = 0
1. Eliminaremos x. Multiplicamos la primera ecuación por 3 y la segunda por −2:
3 · (2x + 3y) = 3 · 13
6x + 9y = 39
−2 · (3x − 2y) = −2 · 0
−6x + 4y = 0
2. Sumamos las ecuaciones obtenidas:
6x − 6x + 9y + 4y = 39 + 0
13y = 39
y = 3
3. Calculamos x en la segunda ecuación original:
3x − 2 · 3 = 0
3x − 6 = 0
3x = 6
x = 2
Solución: (2, 3).
4. Comprobamos:
2 · 2 + 3 · 3 = 4 + 9 = 13 ✓
3 · 2 − 2 · 3 = 6 − 6 = 0 ✓
Vídeo · CLASE 3.3: Método de reducción
5. Método gráfico y número de soluciones
Cada ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta. Las soluciones del sistema son los puntos comunes a las dos rectas.
- Obtén dos puntos de cada recta. Si puedes, despeja y y elige valores de x.
- Representa ambas rectas en los mismos ejes.
- Identifica sus puntos comunes.
Rectas secantes: se cortan en un punto. Hay una solución. Sistema compatible determinado.
Rectas paralelas distintas: no tienen puntos comunes. No hay solución. Sistema incompatible.
Rectas coincidentes: son la misma recta. Hay infinitas soluciones. Sistema compatible indeterminado.
Si al resolver desaparecen las incógnitas:
- Una igualdad falsa, como 0 = 5, indica que el sistema no tiene solución.
- Una igualdad verdadera, como 0 = 0, indica infinitas soluciones en estos sistemas.
En el segundo caso, las soluciones deben cumplir la ecuación de la recta: no sirve cualquier pareja de números.
Vídeo · CLASE 3.4: Método gráfico
6. Situación de aprendizaje
La venta de entradas para una función escolar
Para una función escolar se han vendido 60 entradas. Las entradas de adulto cuestan 5 € y las de estudiante, 3 €. La recaudación total ha sido de 220 €.
Reto: averiguar cuántas entradas se han vendido de cada tipo y explicar cómo se obtiene la respuesta.
- Define las incógnitas e indica qué representa cada una.
- Escribe una ecuación para el número de entradas y otra para la recaudación.
- Resuelve el sistema por el método que prefieras y justifica tu elección.
- Comprueba que tu respuesta cumple los dos datos del enunciado.
- Otro grupo afirma que se vendieron 30 entradas de cada tipo. Explica por qué su respuesta no es válida.
Producto final: una explicación breve con las incógnitas, el sistema, la resolución y una frase que responda al problema con sus unidades.
7. Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos · Sistemas de ecuaciones
Resuelve los sistemas indicando el método utilizado. Escribe los pasos y comprueba cada solución en las dos ecuaciones originales.
Abrir ejercicios propuestos8. Soluciones
✓ Soluciones de los ejercicios propuestos
Intenta resolver los ejercicios antes de consultar las soluciones. Si hay un error, localiza el primer paso que debes corregir.
Ver soluciones🎓 Tutor Socrático · Practica con ayuda
Practica con preguntas y pistas progresivas que te ayuden a elegir el método, avanzar y comprobar tu respuesta, en lugar de recibir directamente la solución.
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