Proporcionalidad, porcentajes y probabilidad
Matemáticas · 3.º ESO
Proporcionalidad directa e inversa, porcentajes y probabilidad básica mediante la regla de Laplace.
1. Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra queda multiplicada o dividida por ese mismo número.
Si una magnitud aumenta, la otra también aumenta en la misma proporción. Si una disminuye, la otra también disminuye proporcionalmente.
Razón de proporcionalidad
Si las magnitudes x e y son directamente proporcionales, el cociente entre los valores correspondientes es constante:
El número k se llama constante o razón de proporcionalidad.
Por tanto, conocida la constante de proporcionalidad, podemos obtener cualquier valor de una magnitud a partir de la otra.
Tabla de proporcionalidad directa
| x | x₁ | x₂ | x₃ |
|---|---|---|---|
| y | k·x₁ | k·x₂ | k·x₃ |
En todos los pares de valores se cumple:
Regla de tres directa
Cuando conocemos tres valores de dos magnitudes directamente proporcionales y queremos calcular el cuarto, podemos utilizar una regla de tres directa.
c → x
Como los cocientes correspondientes son iguales:
Ejemplo 1 · Precio y cantidad
Si 3 cuadernos cuestan 6 €, ¿cuánto cuestan 5 cuadernos si todos tienen el mismo precio?
Las magnitudes son directamente proporcionales: cuantos más cuadernos compramos, mayor es el precio.
5 cuadernos → x €
Resultado: 5 cuadernos cuestan 10 €.
Ejemplo 2 · Distancia recorrida
Un vehículo que mantiene una velocidad constante recorre 120 km en 2 horas. ¿Qué distancia recorrerá en 5 horas?
A velocidad constante, el tiempo y la distancia son directamente proporcionales.
5 h → x km
Resultado: recorrerá 300 km.
2. Proporcionalidad inversa
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra queda dividida por ese mismo número.
Cuando una magnitud aumenta, la otra disminuye proporcionalmente. Por ejemplo, si una se duplica, la otra se reduce a la mitad.
Constante de proporcionalidad inversa
Si x e y son inversamente proporcionales, el producto de sus valores correspondientes permanece constante:
De esta expresión obtenemos:
Para varios pares de valores:
Regla de tres inversa
Si dos magnitudes son inversamente proporcionales, igualamos los productos correspondientes.
c → x
Ejemplo 1 · Trabajadores y tiempo
4 trabajadores tardan 12 días en realizar un trabajo. Si trabajan al mismo ritmo, ¿cuántos días necesitarán 6 trabajadores?
Al aumentar el número de trabajadores, disminuye el tiempo necesario. Las magnitudes son inversamente proporcionales.
Resultado: 6 trabajadores tardarán 8 días.
Ejemplo 2 · Velocidad y tiempo
Un trayecto se realiza en 4 horas circulando a una velocidad constante de 90 km/h. ¿Cuánto se tardaría en recorrer la misma distancia a 120 km/h?
Para una distancia fija, al aumentar la velocidad disminuye el tiempo.
Resultado: se tardarían 3 horas.
Que una magnitud aumente mientras otra disminuye no significa automáticamente que sean inversamente proporcionales. Para comprobarlo, el producto de los valores correspondientes debe ser constante.
Directa o inversa: cómo distinguirlas
Una aumenta → la otra aumenta.
Una disminuye → la otra disminuye.
Una aumenta → la otra disminuye.
Una disminuye → la otra aumenta.
3. Porcentajes
Un porcentaje expresa una cantidad como una fracción de 100.
Por ejemplo:
Calcular un porcentaje de una cantidad
Para calcular el p % de una cantidad C:
Ejemplo 1 · Porcentaje de una cantidad
Calculamos el 15 % de 240:
Resultado: el 15 % de 240 es 36.
Calcular qué porcentaje representa una cantidad
Si queremos saber qué porcentaje representa una cantidad A respecto de un total T:
Por ejemplo, si 18 estudiantes de una clase de 30 han superado una prueba:
Aumentos porcentuales
Si una cantidad inicial C aumenta un p %, podemos calcular directamente la cantidad final utilizando el índice de variación:
Disminuciones porcentuales
Si una cantidad disminuye un p %:
Ejemplo 2 · Descuento
Una camiseta cuesta 50 € y tiene un descuento del 20 %.
Calculamos primero el descuento:
Restamos el descuento:
También podemos utilizar directamente el índice de variación:
Resultado: el precio final es 40 €.
Un aumento del 20 % y una disminución posterior del 20 % no se anulan necesariamente, porque el segundo porcentaje se calcula sobre una cantidad diferente.
4. Probabilidad básica · Regla de Laplace
Experimentos aleatorios
Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no podemos conocer con certeza antes de realizarlo, aunque conozcamos todos los posibles resultados.
Por ejemplo, lanzar un dado o extraer al azar una carta son experimentos aleatorios.
Espacio muestral
El espacio muestral, que representamos habitualmente por E, es el conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Al lanzar un dado de seis caras:
Sucesos
Un suceso es un conjunto de resultados del espacio muestral.
Por ejemplo, el suceso A = «obtener un número par» al lanzar un dado es:
Regla de Laplace
Cuando todos los resultados elementales de un experimento tienen la misma probabilidad, podemos utilizar la regla de Laplace:
La probabilidad de cualquier suceso está comprendida entre 0 y 1:
Un suceso imposible tiene probabilidad 0 y un suceso seguro tiene probabilidad 1.
Ejemplo 1 · Lanzamiento de un dado
Lanzamos un dado equilibrado de seis caras. Calculamos la probabilidad de obtener un número par.
Casos posibles:
Hay 6 casos posibles.
Casos favorables:
Hay 3 casos favorables.
Resultado: la probabilidad es 1/2, es decir, un 50 %.
Ejemplo 2 · Extracción de una bola
En una bolsa hay 5 bolas rojas, 3 azules y 2 verdes. Se extrae una bola al azar. Calculamos la probabilidad de que sea azul.
Número total de bolas:
Hay 3 bolas azules, por lo que tenemos 3 casos favorables.
Resultado: la probabilidad de extraer una bola azul es 3/10, es decir, un 30 %.
Probabilidad y porcentaje
Una probabilidad puede expresarse como fracción, número decimal o porcentaje.
Para pasar una probabilidad decimal a porcentaje, multiplicamos por 100.
5. Situación de aprendizaje
Situación de aprendizaje · Organizamos una excursión
Contexto
La clase va a organizar una excursión y debe estudiar diferentes aspectos matemáticos relacionados con el coste, el número de participantes, posibles descuentos y una actividad de azar.
Reto
El objetivo es elaborar una propuesta razonada para organizar la excursión utilizando proporcionalidad, porcentajes y probabilidad.
Datos
Una empresa de transporte cobra 360 € por el autobús. Además, cada participante necesita una entrada cuyo precio es de 12 €. Para determinados grupos se ofrece un descuento del 15 % en las entradas.
Durante la excursión se realizará también un sorteo con 20 papeletas iguales: 5 corresponden a premios y las restantes no tienen premio.
Actividades
1. Analiza la relación entre el número de participantes y el coste total de las entradas cuando el precio por entrada permanece constante.
2. Calcula cuánto cuestan las entradas para un grupo de 25 participantes sin aplicar ningún descuento.
3. Calcula el 15 % de descuento sobre el importe anterior y determina el precio final de las entradas.
4. Si el coste fijo del autobús se reparte por igual entre los participantes, analiza qué ocurre con la cantidad que paga cada persona cuando aumenta el número de participantes.
5. En el sorteo, identifica el número de casos posibles y de casos favorables para obtener un premio.
6. Utiliza la regla de Laplace para expresar la probabilidad de obtener premio como fracción, número decimal y porcentaje.
Producto final
Elabora una pequeña propuesta para la excursión en la que aparezcan claramente los cálculos realizados y se identifique en cada caso si se ha utilizado proporcionalidad directa, proporcionalidad inversa, porcentajes o probabilidad.
Comprobación
Antes de entregar el trabajo, comprueba que las operaciones están justificadas, que las unidades aparecen correctamente y que las probabilidades obtenidas están comprendidas entre 0 y 1.
6. Ejercicios, soluciones y exámenes
Los ejercicios no se han generado automáticamente para evitar inventar material no proporcionado. Pueden incorporarse aquí íntegramente cuando se facilite el listado de ejercicios que se quiera utilizar.
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