1 BACHILLERATO: ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

Ecuaciones, sistemas e inecuaciones

Matemáticas - 1.º de Bachillerato

Unidad completa para aprender a resolver ecuaciones y sistemas, estudiar inecuaciones y traducir problemas reales al lenguaje algebraico. La idea esencial es mantener equivalencias, comprobar las restricciones y expresar correctamente el conjunto solución.

TeoríaEjemplos resueltosVídeosBanco de ejerciciosTutor socrático

Antes de empezar

1. Reconoce el tipo de ecuación o inecuación.
2. Realiza transformaciones equivalentes.
3. Resuelve la ecuación obtenida.
4. Comprueba cada solución en la ecuación original.
5. Expresa la solución con claridad.

Índice

1. Factorización
2. Ecuaciones algebraicas
3. Ecuaciones racionales
4. Ecuaciones irracionales
5. Ecuaciones exponenciales
6. Ecuaciones logarítmicas
7. Sistemas no lineales
8. Método de Gauss
9. Inecuaciones
10. Regiones factibles
11. Problemas
12. Banco completo

1. Factorización de polinomios

Factorizar es escribir un polinomio como producto. Antes de aplicar Ruffini conviene buscar factor común, identidades notables o una estructura de segundo grado.

Recurso	Forma
Factor común	$ax+ay=a(x+y)$
Diferencia de cuadrados	$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Teorema del resto	El resto de dividir P(x) entre x-a es P(a).
Teorema del factor	x-a es factor si y solo si P(a)=0.

Ejemplo resuelto. Factoriza $x^3-4x^2-x+4$.

Agrupamos: $x^2(x-4)-(x-4)=(x-4)(x^2-1)$.

Por diferencia de cuadrados:

$$x^3-4x^2-x+4=(x-4)(x-1)(x+1)$$

2. Ecuaciones algebraicas

2.1. Ecuaciones de segundo grado

En $a{x}^2+bx+c=0$, con a ≠ 0, el discriminante determina el número de soluciones reales.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Ejemplo resuelto. $2x^2-5x-3=0$.

$\Delta =25+24=49$. Por tanto, $x=\frac{5\pm 7}{4}$.

Soluciones: x=3 y x=-1/2.

2.2. Ecuaciones bicuadradas

Tienen la forma $a{x}^4+b{x}^2+c=0$. Se hace el cambio $t=x^2$ y se exige t ≥ 0.

Ejemplo resuelto. $x^4-5x^2+4=0$.

Con t=x²: t²-5t+4=0, luego t=1 o t=4.

Soluciones: x=-2, -1, 1, 2.

2.3. Ecuaciones polinómicas de grado superior

Se iguala a cero, se factoriza completamente y se aplica la propiedad del producto nulo.

3. Ecuaciones racionales

1. Se anotan los valores que anulan los denominadores.
2. Se calcula el mínimo común múltiplo.
3. Se multiplican ambos miembros por él.
4. Se resuelve y se descartan los valores prohibidos.

Ejemplo resuelto.

$$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x^2-1}$$

Restricciones: x ≠ 1 y x ≠ -1. Multiplicamos por (x-1)(x+1):

x+1+2(x-1)=3 ⇒ 3x-1=3.

Solución: x=4/3, que no está excluida.

Error frecuente: simplificar sumandos como si fueran factores o aceptar una solución que anula un denominador.

4. Ecuaciones irracionales

Una ecuación irracional contiene la incógnita dentro de una raíz. Se aísla un radical, se eleva al cuadrado y se repite si es necesario. Elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas, por lo que la comprobación final es obligatoria.

Ejemplo resuelto.

$$\sqrt{x+5}=x-1$$

Como el segundo miembro debe ser no negativo, x ≥ 1. Elevando al cuadrado:

x+5=(x-1)² ⇒ x²-3x-4=0 ⇒ x=4 o x=-1.

Solución válida: x=4. El valor -1 no cumple el dominio ni la ecuación original.

Ver vídeos de ecuaciones irracionales

5. Ecuaciones exponenciales

La incógnita aparece en el exponente. Las estrategias principales son reducir a una misma base, aplicar logaritmos o realizar un cambio de variable.

Ejemplo resuelto mediante cambio de variable.

$$3^{2x}-103^x+9=0$$

Sea t=3ˣ, con t>0. Entonces t²-10t+9=0, de donde t=1 o t=9.

Soluciones: x=0 y x=2.

6. Ecuaciones logarítmicas

Antes de operar se impone que todos los argumentos sean positivos. Después se aplican las propiedades de los logaritmos y se comprueba el resultado.

$${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a\left(uv\right)$$

Ejemplo resuelto. log(x-1)+log(x+1)=log 8.

Dominio: x>1. Agrupamos: log[(x-1)(x+1)]=log 8.

x²-1=8 ⇒ x=3 o x=-3.

Solución válida: x=3.

7. Sistemas de dos ecuaciones

En sistemas lineales pueden emplearse sustitución, igualación o reducción. En sistemas no lineales suele despejarse la expresión más sencilla y sustituirse en la otra ecuación.

Ejemplo resuelto.

$$\{\begin{array}{c}x+y=7\\ xy=10\end{array}$$

De y=7-x: x(7-x)=10 ⇒ x²-7x+10=0 ⇒ x=2 o x=5.

Soluciones: (2,5) y (5,2).

8. Sistemas de tres ecuaciones. Método de Gauss

El método de Gauss transforma el sistema mediante operaciones elementales hasta obtener una forma escalonada. Son válidas: intercambiar ecuaciones, multiplicar una ecuación por un número no nulo y sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Clasificación	Resultado final
Compatible determinado	Una única solución.
Compatible indeterminado	Infinitas soluciones; aparece al menos un parámetro.
Incompatible	Aparece una igualdad imposible, por ejemplo 0=5.

Ejemplo resuelto.

$$\{\begin{array}{c}x+y+z=6\\ 2x-y+z=3\\ x+2y-z=2\end{array}$$

F₂←F₂-F₁: x-2y=-3. F₃←F₃-F₁: y-2z=-4. Al continuar la eliminación se obtiene y=2, y por sustitución x=1, z=3.

Solución: (1,2,3).

9. Inecuaciones con una incógnita

En una inecuación no basta con hallar raíces: hay que estudiar el signo en los intervalos determinados por ceros y valores prohibidos. Al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte el sentido de la desigualdad.

Ejemplo resuelto.

$$\frac{x-1}{x+2}\ge 0$$

Puntos críticos: x=-2, que queda excluido, y x=1, que puede incluirse. El estudio de signos da:

Solución: (-∞,-2) ∪ [1,+∞).

10. Inecuaciones lineales con dos incógnitas

1. Se dibuja la recta frontera sustituyendo la desigualdad por una igualdad.
2. La recta se incluye si aparece ≤ o ≥ y se excluye si aparece < o >.
3. Se prueba un punto que no pertenezca a la recta.
4. En un sistema se toma la intersección de todos los semiplanos.

Ejemplo resuelto. Representa x+y≤6, x≥1, y≥0.

Las fronteras son x+y=6, x=1 e y=0. La intersección es el triángulo cerrado cuyos vértices son:

(1,0), (1,5) y (6,0).

11. Planteamiento de problemas

Define las incógnitas con unidades, traduce cada condición, añade las restricciones naturales y comprueba si la respuesta tiene sentido en el contexto. Cuando las cantidades son objetos indivisibles, las soluciones deben ser enteras.

Ejemplo resuelto: camisetas.

Sea x el número de camisetas de calidad extra y y el de calidad media. Según la tabla del PDF:

$$\{\begin{array}{c}4x+2y\le 260\\ x+3y\le 190\\ x\ge 0,y\ge 0\end{array}$$

Los vértices son (0,0), (65,0), (40,50) y (0,190/3). Para (50,40), la primera restricción da 280≤260, que es falso.

No es posible fabricar 50 camisetas extra y 40 medias.

12. Entrenamiento resuelto

Intenta resolverlos antes de desplegar la solución.

1. Ecuación polinómica: x⁴+3x²-4=0

Hacemos t=x²: t²+3t-4=0, es decir, (t+4)(t-1)=0. Como t=x²≥0, se descarta t=-4 y queda x²=1.

Soluciones: x=-1 y x=1.

2. Ecuación polinómica: x⁶-2x³+1=0

Sea t=x³. Resulta t²-2t+1=(t-1)²=0. Así, x³=1.

Solución real: x=1.

3. Ecuación irracional

$$\sqrt{5x+6}=x+2$$

Exigimos 5x+6≥0 y x+2≥0. Elevando al cuadrado: 5x+6=x²+4x+4, por tanto x²-x-2=0.

Soluciones comprobadas: x=-1 y x=2.

4. Ecuación exponencial: 2ˣ·3ˣ=216

Usamos aˣbˣ=(ab)ˣ: 6ˣ=216=6³.

Solución: x=3.

5. Ecuación logarítmica: log(x+3)-log(x-6)=1

Dominio: x>6. Como 1=log 10, tenemos log[(x+3)/(x-6)]=log 10. Entonces x+3=10x-60.

Solución: x=7.

6. Sistema no lineal

$$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=10\\ 2y-x=7\end{array}$$

De la segunda, x=2y-7. Sustituyendo: (2y-7)²+y²=10, luego 5y²-28y+39=0. Se obtiene y=3 o y=13/5.

Soluciones: (-1,3) y (-9/5,13/5).

7. Inecuación polinómica: x²-3x-4≤0

Factorizamos: (x-4)(x+1)≤0. La parábola abre hacia arriba, por lo que es no positiva entre sus raíces.

Solución: [-1,4].

8. Inecuación racional

$$\frac{x^2+6}{x^2-4}\ge 0$$

El numerador es siempre positivo. El signo depende de (x-2)(x+2), que debe ser positivo. Los ceros del denominador se excluyen.

Solución: (-∞,-2) ∪ (2,+∞).

9. Comprobación de un punto en una región factible

Para 4x+2y≤260 y x+3y≤190, comprobamos (40,50):

4·40+2·50=260 y 40+3·50=190. Cumple ambas igualdades y las condiciones de no negatividad.

Conclusión: (40,50) pertenece a la región factible y es uno de sus vértices.

13. Ejercicios y capturas

Uso recomendado: intenta cada bloque antes de consultar los ejemplos resueltos. Escribe siempre las restricciones y comprueba las soluciones obtenidas.

A. Ejercicios propuestos del tema base

Selección de las páginas que contienen ejercicios, ejemplos completos y representaciones gráficas.

Ver ejercicios del tema base

Ver soluciones del tema base

B. Preparando el examen: ejercicios de álgebra

Polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones, sistemas, inecuaciones y problemas.

Ver ejercicios para preparar el examen

Ver soluciones para preparar el examen

C. Repaso de ecuaciones, sistemas e inecuaciones

Ficha general de repaso organizada por tipos de ejercicios.

Ver ficha de repaso

Ver soluciones de la ficha de repaso

D. Problemas de sistemas de inecuaciones

Problemas contextualizados para plantear restricciones y representar regiones factibles.

Ver problemas de sistemas de inecuaciones

Ver soluciones de los problemas

E. Pruebas y exámenes

Pruebas de clase y exámenes para practicar la unidad completa.

Ver pruebas y exámenes

Ver soluciones de las pruebas y exámenes

14. Vídeos de pruebas resueltas

Utiliza estos vídeos después de intentar las actividades por tu cuenta.

15. Tutor socrático de Matemáticas

Si te atascas, el tutor no te dará directamente la respuesta: analizará tu planteamiento, te hará preguntas y te ofrecerá una pista cada vez para que seas tú quien complete el razonamiento.

Abrir el tutor socrático

Antes de entrar, prepara el enunciado, el paso en el que te has detenido y qué has intentado.