1 BACHILLERATO: ECUACIONES, INECUACIONES Y SISTEMAS

Ecuaciones, sistemas e inecuaciones

Matemáticas - 1.º de Bachillerato

Unidad completa para aprender a resolver ecuaciones y sistemas, estudiar inecuaciones y traducir problemas reales al lenguaje algebraico. La idea esencial es mantener equivalencias, comprobar las restricciones y expresar correctamente el conjunto solución.

TeoríaEjemplos resueltosVídeosBanco de ejerciciosTutor socrático

Antes de empezar

1. Reconoce el tipo de ecuación o inecuación.
2. Realiza transformaciones equivalentes.
3. Resuelve la ecuación obtenida.
4. Comprueba cada solución en la ecuación original.
5. Expresa la solución con claridad.

Índice

1. Factorización
2. Ecuaciones algebraicas
3. Ecuaciones racionales
4. Ecuaciones irracionales
5. Ecuaciones exponenciales
6. Ecuaciones logarítmicas
7. Sistemas no lineales
8. Método de Gauss
9. Inecuaciones
10. Regiones factibles
11. Problemas
12. Banco completo
13. Conquista matemática
14. Tutor socrático

1. Factorización de polinomios

Factorizar es escribir un polinomio como producto. Antes de aplicar Ruffini conviene buscar factor común, identidades notables o una estructura de segundo grado.

Recurso	Forma
Factor común	$ax+ay=a(x+y)$
Diferencia de cuadrados	$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$
Teorema del resto	El resto de dividir P(x) entre x−a es P(a).
Teorema del factor	x−a es factor si y solo si P(a)=0.

Ejemplo resuelto · Factorización

Factoriza: x³ − 4x² − x + 4.

Agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos:

x³ − 4x² − x + 4

= x²(x − 4) − (x − 4)

= (x − 4)(x² − 1)

Aplicamos la diferencia de cuadrados: x² − 1 = (x − 1)(x + 1).

x³ − 4x² − x + 4 = (x − 4)(x − 1)(x + 1)

2. Ecuaciones algebraicas

2.1. Ecuaciones de segundo grado

En ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0, el discriminante determina el número de soluciones reales.

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

Ejemplo resuelto · Ecuación de segundo grado

Resuelve: 2x² − 5x − 3 = 0.

Los coeficientes son a = 2, b = −5 y c = −3.

Δ = b² − 4ac

Δ = (−5)² − 4 · 2 · (−3)

Δ = 25 + 24 = 49

Sustituimos en la fórmula:

$$x=\frac{5\pm \sqrt{49}}{4}=\frac{5\pm 7}{4}$$

x₁ = (5 + 7) / 4 = 3

x₂ = (5 − 7) / 4 = −1/2

Soluciones: x = 3 y x = −1/2.

2.2. Ecuaciones bicuadradas

Tienen la forma ax⁴ + bx² + c = 0. Se hace el cambio t = x² y se exige t ≥ 0 al buscar soluciones reales.

Ejemplo resuelto · Ecuación bicuadrada

Resuelve: x⁴ − 5x² + 4 = 0.

Hacemos el cambio t = x². Entonces x⁴ = t²:

x⁴ − 5x² + 4 = 0

↓ t = x²

t² − 5t + 4 = 0

(t − 1)(t − 4) = 0

t = 1   o   t = 4

Deshacemos el cambio en cada caso:

x² = 1 → x = −1 o x = 1

x² = 4 → x = −2 o x = 2

Soluciones: x = −2, −1, 1, 2.

2.3. Ecuaciones polinómicas de grado superior

Se iguala a cero, se factoriza completamente y se aplica la propiedad del producto nulo.

▶ Vídeo · Ecuaciones polinómicas de grado superior mediante Ruffini

3. Ecuaciones racionales

1. Se anotan los valores que anulan los denominadores.
2. Se calcula el mínimo común múltiplo.
3. Se multiplican ambos miembros por él.
4. Se resuelve y se descartan los valores prohibidos.

Ejemplo resuelto · Ecuación racional

Resuelve:

$$\frac{1}{x-1}+\frac{2}{x+1}=\frac{3}{x^2-1}$$

Restricciones: x ≠ 1 y x ≠ −1. Como x² − 1 = (x − 1)(x + 1), multiplicamos ambos miembros por (x − 1)(x + 1):

x + 1 + 2(x − 1) = 3

x + 1 + 2x − 2 = 3

3x − 1 = 3

3x = 4

x = 4/3

Solución: x = 4/3, que no está excluida.

Error frecuente: simplificar sumandos como si fueran factores o aceptar una solución que anula un denominador.

▶ Vídeo · Ecuaciones racionales

4. Ecuaciones irracionales

Una ecuación irracional contiene la incógnita dentro de una raíz. Se aísla un radical, se eleva al cuadrado y se repite si es necesario. Elevar al cuadrado puede introducir soluciones extrañas, por lo que la comprobación final es obligatoria.

Ejemplo resuelto · Ecuación irracional

Resuelve:

$$\sqrt{x+5}=x-1$$

La raíz exige x ≥ −5 y el segundo miembro debe ser no negativo, por lo que x ≥ 1.

Elevamos al cuadrado y ordenamos:

x + 5 = (x − 1)²

x + 5 = x² − 2x + 1

x² − 3x − 4 = 0

(x − 4)(x + 1) = 0

x = 4   o   x = −1

Para x = 4: √9 = 3, que es cierto. Para x = −1: √4 = −2, que es falso.

Solución válida: x = 4.

▶ Vídeo · Ecuaciones irracionales

5. Ecuaciones exponenciales

La incógnita aparece en el exponente. Las estrategias principales son reducir a una misma base, aplicar logaritmos o realizar un cambio de variable.

Ejemplo resuelto · Ecuación exponencial

Resuelve mediante un cambio de variable:

$$3^{2x}-103^x+9=0$$

Sea t = 3ˣ, con t > 0. Como 3²ˣ = (3ˣ)²:

t² − 10t + 9 = 0

(t − 1)(t − 9) = 0

t = 1   o   t = 9

Deshacemos el cambio:

3ˣ = 1 = 3⁰ → x = 0

3ˣ = 9 = 3² → x = 2

Soluciones: x = 0 y x = 2.

▶ Vídeo · Ecuaciones exponenciales

6. Ecuaciones logarítmicas

Antes de operar se impone que todos los argumentos sean positivos. Después se aplican las propiedades de los logaritmos y se comprueba el resultado.

$${\log }_{a}u+{\log }_{a}v={\log }_a\left(uv\right)$$

Ejemplo resuelto · Ecuación logarítmica

Resuelve: log(x − 1) + log(x + 1) = log 8.

Los argumentos deben ser positivos: x − 1 > 0 y x + 1 > 0. Por tanto, el dominio es x > 1.

log(x − 1) + log(x + 1) = log 8

↓ Sumamos logaritmos de la misma base

log[(x − 1)(x + 1)] = log 8

↓ Igualamos argumentos

(x − 1)(x + 1) = 8

x² − 1 = 8

x² = 9

x = 3   o   x = −3

Solo x = 3 pertenece al dominio x > 1.

Solución válida: x = 3.

▶ Vídeo · Ecuaciones logarítmicas

7. Sistemas de dos ecuaciones

En sistemas lineales pueden emplearse sustitución, igualación o reducción. En sistemas no lineales suele despejarse la expresión más sencilla y sustituirse en la otra ecuación.

Ejemplo resuelto · Sistema no lineal paso a paso

Resuelve el sistema:

x + y = 7

xy = 10

Paso 1. Despejamos una incógnita.

En la primera ecuación despejamos y, restando x en ambos miembros:

x + y = 7

↓

y = 7 − x

Paso 2. Sustituimos en la otra ecuación.

En xy = 10, sustituimos y por 7 − x:

xy = 10

↓

x(7 − x) = 10

Paso 3. Desarrollamos y ordenamos.

Aplicamos la propiedad distributiva, restamos 10 y multiplicamos toda la ecuación por −1:

x(7 − x) = 10

↓ Distribuimos x

7x − x² = 10

↓ Restamos 10

−x² + 7x − 10 = 0

↓ Multiplicamos por −1

x² − 7x + 10 = 0

Paso 4. Resolvemos la ecuación de segundo grado.

Buscamos dos números que sumen −7 y cuyo producto sea 10: son −2 y −5.

x² − 7x + 10 = 0

↓ Factorizamos

(x − 2)(x − 5) = 0

↓ Un producto es cero si algún factor es cero

x − 2 = 0   o   x − 5 = 0

x = 2   o   x = 5

Paso 5. Calculamos el valor de y en cada caso.

Volvemos a la expresión y = 7 − x:

Si x = 2 → y = 7 − 2 = 5 → (2,5)

Si x = 5 → y = 7 − 5 = 2 → (5,2)

Paso 6. Comprobamos las dos soluciones.

Solución	x + y = 7	xy = 10
(2,5)	2 + 5 = 7 ✓	2 · 5 = 10 ✓
(5,2)	5 + 2 = 7 ✓	5 · 2 = 10 ✓

Soluciones: (x,y) = (2,5) y (5,2).

Atención: cada solución es un par ordenado. No podemos combinar los valores libremente: si x = 2, entonces y = 5; si x = 5, entonces y = 2.

▶ Vídeo · Sistemas no lineales

8. Sistemas de tres ecuaciones. Método de Gauss

El método de Gauss transforma el sistema mediante operaciones elementales hasta obtener una forma escalonada. Son válidas: intercambiar ecuaciones, multiplicar una ecuación por un número no nulo y sumar a una ecuación un múltiplo de otra.

Clasificación	Resultado final
Compatible determinado	Una única solución.
Compatible indeterminado	Infinitas soluciones; aparece al menos un parámetro.
Incompatible	Aparece una igualdad imposible, por ejemplo 0 = 5.

Ejemplo resuelto · Método de Gauss paso a paso

Resuelve el sistema mediante el método de Gauss:

x + y + z = 6   [F₁]

2x − y + z = 3   [F₂]

x + 2y − z = 2   [F₃]

Objetivo. Transformar el sistema en otro equivalente con forma escalonada: la segunda ecuación no tendrá x y la tercera solo tendrá z.

Paso 1. Eliminamos x de la segunda ecuación.

Restamos a la segunda ecuación el doble de la primera:

F₂ ← F₂ − 2F₁

Calculamos cada coeficiente y el término independiente:

x:   2 − 2 · 1 = 0

y:   −1 − 2 · 1 = −3

z:   1 − 2 · 1 = −1

Término independiente:   3 − 2 · 6 = −9

La nueva segunda ecuación es −3y − z = −9. El sistema queda:

x + y + z = 6

−3y − z = −9

x + 2y − z = 2

Paso 2. Eliminamos x de la tercera ecuación.

Restamos a la tercera ecuación la primera:

F₃ ← F₃ − F₁

x:   1 − 1 = 0

y:   2 − 1 = 1

z:   −1 − 1 = −2

Término independiente:   2 − 6 = −4

La nueva tercera ecuación es y − 2z = −4. Ahora tenemos:

x + y + z = 6

−3y − z = −9

y − 2z = −4

Paso 3. Intercambiamos la segunda y la tercera ecuación.

Así utilizamos el coeficiente 1 de y para facilitar la siguiente eliminación:

F₂ ↔ F₃

↓

x + y + z = 6

y − 2z = −4

−3y − z = −9

Paso 4. Eliminamos y de la tercera ecuación.

Sumamos a la tercera ecuación el triple de la segunda, utilizando las filas del sistema anterior:

F₃ ← F₃ + 3F₂

y:   −3 + 3 · 1 = 0

z:   −1 + 3 · (−2) = −7

Término independiente:   −9 + 3 · (−4) = −21

Obtenemos el sistema escalonado:

x + y + z = 6

y − 2z = −4

−7z = −21

Paso 5. Resolvemos de abajo hacia arriba.

De la tercera ecuación:

−7z = −21

↓ Dividimos entre −7

z = 3

Sustituimos z = 3 en la segunda ecuación:

y − 2z = −4

↓

y − 2 · 3 = −4

y − 6 = −4

y = −4 + 6

y = 2

Sustituimos y = 2 y z = 3 en la primera ecuación:

x + y + z = 6

↓

x + 2 + 3 = 6

x + 5 = 6

x = 6 − 5

x = 1

Paso 6. Comprobamos en el sistema original.

1 + 2 + 3 = 6 ✓

2 · 1 − 2 + 3 = 3 ✓

1 + 2 · 2 − 3 = 2 ✓

Solución: (x,y,z) = (1,2,3).

El sistema es compatible determinado, porque tiene una única solución.

▶ Vídeo · Método de Gauss

▶ Vídeo · Gauss y sistemas homogéneos

9. Inecuaciones con una incógnita

En una inecuación no basta con hallar raíces: hay que estudiar el signo en los intervalos determinados por ceros y valores prohibidos. Al multiplicar o dividir por un número negativo se invierte el sentido de la desigualdad.

Ejemplo resuelto · Inecuación con una incógnita

Resuelve:

$$\frac{x-1}{x+2}\ge 0$$

Puntos críticos: x = −2, que queda excluido, y x = 1, que puede incluirse.

En (−∞,−2), numerador y denominador son negativos: el cociente es positivo. En (−2,1), tienen distinto signo: el cociente es negativo. En (1,+∞), ambos son positivos.

Solución: (−∞,−2) ∪ [1,+∞).

▶ Vídeo · Inecuaciones y sistemas con una incógnita

10. Inecuaciones lineales con dos incógnitas

1. Se dibuja la recta frontera sustituyendo la desigualdad por una igualdad.
2. La recta se incluye si aparece ≤ o ≥ y se excluye si aparece < o >.
3. Se prueba un punto que no pertenezca a la recta.
4. En un sistema se toma la intersección de todos los semiplanos.

Ejemplo resuelto · Región factible con representación gráfica

Enunciado. Representa la región del plano que cumple simultáneamente:

x + y ≤ 6

x ≥ 1

y ≥ 0

1. Dibujamos las rectas frontera.

• x + y = 6: despejamos y = 6 − x. Pasa por (0,6) y (6,0).
• x = 1: es la recta vertical que pasa por el valor 1 del eje horizontal.
• y = 0: es el propio eje horizontal.

2. Elegimos el semiplano de cada inecuación.

• x + y ≤ 6: como y ≤ 6 − x, tomamos la zona situada por debajo de la recta oblicua. El punto (0,0) cumple esta inecuación porque 0 + 0 ≤ 6.
• x ≥ 1: tomamos la zona situada a la derecha de la recta vertical.
• y ≥ 0: tomamos la zona situada por encima del eje horizontal.

3. Nos quedamos con la zona común. El recinto que satisface las tres condiciones es el triángulo verde del dibujo.

Recinto solución x + y = 6 x = 1 y = 0

La solución es toda la superficie verde, incluidos sus lados y sus vértices.

4. Calculamos los vértices. Cada vértice se obtiene al cortar dos rectas frontera.

Vértice	Rectas que se cortan	Cálculo	Coordenadas
A	x = 1 e y = 0	Las dos coordenadas están dadas.	(1,0)
B	x = 1 y x + y = 6	1 + y = 6 ⇒ y = 5	(1,5)
C	y = 0 y x + y = 6	x + 0 = 6 ⇒ x = 6	(6,0)

5. Comprobamos un punto interior. Para (2,2):

2 + 2 = 4 ≤ 6 ✓

2 ≥ 1 ✓

2 ≥ 0 ✓

Como cumple las tres inecuaciones, el punto pertenece al recinto.

En cambio, (5,2) queda fuera porque 5 + 2 = 7 > 6. Aunque cumple las otras dos condiciones, basta con incumplir una para quedar excluido.

Solución: triángulo cerrado de vértices A(1,0), B(1,5) y C(6,0). Se incluyen sus tres lados porque todas las desigualdades permiten la igualdad.

Atención: el punto (0,0) sirve para elegir el semiplano de x + y ≤ 6, pero no pertenece a la región final porque no cumple x ≥ 1.

▶ Vídeo · Inecuaciones lineales con dos incógnitas

▶ Vídeo · Sistemas de inecuaciones lineales - vídeo 1

▶ Vídeo · Sistemas de inecuaciones lineales - vídeo 2

11. Planteamiento de problemas

Define las incógnitas con unidades, traduce cada condición, añade las restricciones naturales y comprueba si la respuesta tiene sentido en el contexto. Cuando las cantidades son objetos indivisibles, las soluciones deben ser enteras.

Ejemplo resuelto · Camisetas

Ejemplo resuelto: camisetas.

Sea x el número de camisetas de calidad extra y y el de calidad media. Según la tabla del PDF:

4x + 2y ≤ 260

x + 3y ≤ 190

x ≥ 0,   y ≥ 0

Los vértices de la región factible son (0,0), (65,0), (40,50) y (0,190/3).

Para comprobar si pueden fabricarse 50 camisetas extra y 40 medias, sustituimos x = 50 e y = 40:

4 · 50 + 2 · 40 = 280

280 > 260 → No cumple la primera restricción.

No es posible fabricar 50 camisetas extra y 40 medias.

12. Entrenamiento resuelto

Intenta resolverlos antes de desplegar la solución.

1. Ecuación polinómica: x⁴ + 3x² − 4 = 0

Hacemos t = x²: t² + 3t − 4 = 0, es decir, (t + 4)(t − 1) = 0. Como t = x² ≥ 0, se descarta t = −4 y queda x² = 1.

Soluciones: x = −1 y x = 1.

2. Ecuación polinómica: x⁶ − 2x³ + 1 = 0

Sea t = x³. Resulta t² − 2t + 1 = (t − 1)² = 0. Así, x³ = 1.

Solución real: x = 1.

3. Ecuación irracional

$$\sqrt{5x+6}=x+2$$

Exigimos 5x + 6 ≥ 0 y x + 2 ≥ 0. Elevando al cuadrado: 5x + 6 = x² + 4x + 4, por tanto x² − x − 2 = 0.

Soluciones comprobadas: x = −1 y x = 2.

4. Ecuación exponencial: 2ˣ · 3ˣ = 216

Usamos aˣbˣ = (ab)ˣ: 6ˣ = 216 = 6³.

Solución: x = 3.

5. Ecuación logarítmica: log(x + 3) − log(x − 6) = 1

Los logaritmos son decimales. Dominio: x > 6. Como 1 = log 10, tenemos log[(x + 3)/(x − 6)] = log 10. Entonces x + 3 = 10x − 60.

Solución: x = 7.

6. Sistema no lineal

x² + y² = 10

2y − x = 7

De la segunda, x = 2y − 7. Sustituyendo: (2y − 7)² + y² = 10, luego 5y² − 28y + 39 = 0. Se obtiene y = 3 o y = 13/5.

Soluciones: (−1,3) y (−9/5,13/5).

7. Inecuación polinómica: x² − 3x − 4 ≤ 0

Factorizamos: (x − 4)(x + 1) ≤ 0. La parábola abre hacia arriba, por lo que es no positiva entre sus raíces.

Solución: [−1,4].

8. Inecuación racional

$$\frac{x^2+6}{x^2-4}\ge 0$$

El numerador es siempre positivo. El signo depende de (x − 2)(x + 2), que debe ser positivo. Los ceros del denominador se excluyen.

Solución: (−∞,−2) ∪ (2,+∞).

9. Comprobación de un punto en una región factible

Para 4x + 2y ≤ 260 y x + 3y ≤ 190, comprobamos (40,50):

4 · 40 + 2 · 50 = 260 y 40 + 3 · 50 = 190. Cumple ambas igualdades y las condiciones de no negatividad.

Conclusión: (40,50) pertenece a la región factible y es uno de sus vértices.

13. Ejercicios y capturas

Uso recomendado: intenta cada bloque antes de consultar los ejemplos resueltos. Escribe siempre las restricciones y comprueba las soluciones obtenidas.

A. Ejercicios propuestos del tema base

Selección de las páginas que contienen ejercicios, ejemplos completos y representaciones gráficas.

Ver ejercicios del tema base

Ver soluciones del tema base

B. Preparando el examen: ejercicios de álgebra

Polinomios, fracciones algebraicas, ecuaciones, sistemas, inecuaciones y problemas.

Ver ejercicios para preparar el examen

Ver soluciones para preparar el examen

C. Repaso de ecuaciones, sistemas e inecuaciones

Ficha general de repaso organizada por tipos de ejercicios.

Ver ficha de repaso

Ver soluciones de la ficha de repaso

D. Problemas de sistemas de inecuaciones

Problemas contextualizados para plantear restricciones y representar regiones factibles.

Ver problemas de sistemas de inecuaciones

Ver soluciones de los problemas

E. Pruebas y exámenes

Pruebas de clase y exámenes para practicar la unidad completa.

Ver pruebas y exámenes

Ver soluciones de las pruebas y exámenes

14. Vídeos de pruebas resueltas

Utiliza estos vídeos después de intentar las actividades por tu cuenta.

▶ Vídeo · Examen 2023 parte 1: sistemas no lineales

▶ Vídeo · Examen 2023 parte 2: exponenciales y Gauss

▶ Vídeo · Prueba de clase de inecuaciones

15. Conquista matemática

🎮 Juego · Europa · Conquista matemática · 1.º de Bachillerato

Practica ecuaciones exponenciales, ecuaciones logarítmicas, sistemas no lineales y el método de Gauss conquistando territorios en el mapa de Europa.

Jugar a Conquista matemática

16. Tutor socrático de Matemáticas

Si te atascas, el tutor no te dará directamente la respuesta: analizará tu planteamiento, te hará preguntas y te ofrecerá una pista cada vez para que seas tú quien complete el razonamiento.

Abrir el tutor socrático

Antes de entrar, prepara el enunciado, el paso en el que te has detenido y qué has intentado.