1 BACHILLERATO: NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA

Tema 0 - Números reales y álgebra

Repaso de conjuntos numéricos, intervalos, valor absoluto, potencias, radicales, racionalización, logaritmos, factoriales, números combinatorios y binomio de Newton.

Índice

1. Números reales
2. Intervalos y semirrectas
3. Valor absoluto
4. Propiedades de las potencias
5. Radicales
6. Racionalización
7. Logaritmos
8. Factoriales y combinatorios
9. Binomio de Newton
10. Tutor socrático

1. Números reales y recta real

Los números reales reúnen los números racionales y los irracionales.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ    y    ℝ=ℚ∪I,   ℚ∩I=∅

Naturales ℕ
0,1,2,3,...

Enteros ℤ
...,-2,-1,0,1,2,...

Racionales ℚ
Fracciones y decimales exactos o periódicos.

Irracionales I
Decimales infinitos no periódicos: √2, π...

Cada real corresponde a un único punto de la recta real y cada punto representa un real.

2. Repaso de intervalos

Tipo	Notación	Desigualdad
Abierto	(a,b)	a<x<b
Cerrado	[a,b]	a≤x≤b
Semiabierto	[a,b)	a≤x<b
Semiabierto	(a,b]	a<x≤b
Semirrecta derecha	(a,+∞), [a,+∞)	x>a, x≥a
Semirrecta izquierda	(-∞,b), (-∞,b]	x<b, x≤b
Recta	(-∞,+∞)	ℝ

El infinito nunca se incluye: junto a +∞ o -∞ siempre se escribe paréntesis.

Unión e intersección

La unión A∪B contiene los elementos que están en A o en B. La intersección A∩B contiene los que pertenecen a ambos.

[-2,3]∪(1,5)=[-2,5) y [-2,3]∩(1,5)=(1,3].

Ejercicios

1. Representa: a) (-3,-1); b) [4,+∞); c) (3,9]; d) (-∞,0); e) {x/-2≤x<5}; f) [-2,5)∪(5,7]; g) (-∞,0)∪(3,+∞); h) (-∞,1)∪[1,+∞).
2. Calcula: a) [-4,2]∪(0,6); b) [-4,2]∩(0,6); c) (-∞,3]∩[-1,7); d) (-2,5)∪[5,+∞).

Soluciones de intervalos

1. a) -3<x<-1; b) x≥4; c) 3<x≤9; d) x<0; e) [-2,5); f) dos tramos separados por x=5; g) x<0 o x>3; h) ℝ.
2. a) [-4,6); b) (0,2]; c) [-1,3]; d) (-2,+∞).

3. Valor absoluto

|x| representa la distancia de x al 0; por ello nunca es negativo.

|x|={x si x≥0; -x si x<0}

• |x|<a ⇔ -a<x<a.
• |x|≤a ⇔ -a≤x≤a.
• |x|>a ⇔ x<-a o x>a.
• |x-c| mide la distancia de x al punto c.

Ejemplo 1: |x|≥3 ⇔ x≤-3 o x≥3. Solución: (-∞,-3]∪[3,+∞).

Ejemplo 2: |x-2|<3 ⇔ -3<x-2<3 ⇔ -1<x<5. Solución: (-1,5).

Ejercicios

1. |x|=5
2. |x|≤5
3. |x-4|=2
4. |x-4|≤2
5. |x-4|>2
6. |x+4|>5

Soluciones

1. x=-5 o x=5.
2. [-5,5].
3. x=2 o x=6.
4. [2,6].
5. (-∞,2)∪(6,+∞).
6. (-∞,-9)∪(1,+∞).

4. Propiedades de las potencias

Para a,b≠0 y exponentes enteros:

Propiedad	Regla
Producto de igual base	am·an=am+n
Cociente de igual base	am/an=am-n
Potencia de potencia	(am)n=amn
Potencia de producto	(ab)n=anbn
Potencia de cociente	(a/b)n=an/bn
Exponente cero	a0=1
Exponente negativo	a-n=1/an
Exponente fraccionario	am/n=ⁿ√(am)

Ejemplo: (x³y^-2)²·x^-1 = x⁶y^-4x^-1 = x⁵/y⁴.

No confundas: (a+b)² no es a²+b², sino a²+2ab+b².

Vídeo: errores típicos

Ejercicios resueltos

1. 2⁵·2^-3=2²=4.
2. (3²)³:3⁴=3^6-4=9.
3. 16^3/4=(⁴√16)³=2³=8.
4. (a³b^-1)²/(a^-1b)=a⁷/b³.

5. Radicales

Un radical equivale a una potencia de exponente fraccionario:

ⁿ√(a^m)=a^m/n

Propiedad	Expresión
Producto	ⁿ√a·ⁿ√b=ⁿ√(ab)
Cociente	ⁿ√a/ⁿ√b=ⁿ√(a/b)
Raíz de raíz	ᵐ√(ⁿ√a)=ᵐⁿ√a
Extracción	ⁿ√(anb)=aⁿ√b, con las condiciones de signo correspondientes

Dominio: si el índice es par, el radicando debe ser no negativo. Además, √(x²)=|x|, no siempre x.

Simplificar y reducir a índice común

¹²√(x⁸)=³√(x²) porque dividimos índice y exponente entre 4.
¹²√(a⁵) y ¹⁸√(a⁷) pasan a índice 36: ³⁶√(a¹⁵) y ³⁶√(a¹⁴).

Vídeo: radicales y ejercicios

Producto, cociente, suma y resta

Para sumar o restar radicales deben ser semejantes: mismo índice y mismo radicando después de simplificar.

√12+2√27-√3 = 2√3+6√3-√3=7√3.

Vídeo: suma y resta de radicales

Vídeo: identidades notables y radicales

Ejercicios de las capturas

1. Simplifica: a) ⁹√(x¹²); b) ¹²√(x⁸); c) ⁵√(y¹⁰); d) ⁶√8; e) ⁹√64; f) ⁸√81.
2. Compara ⁴√31 y ³√13.
3. Reduce a índice común: a) ¹²√(a⁵) y ¹⁸√(a⁷); b) ³√51 y ⁹√132650.
4. Reduce: a) ³√2·⁵√2; b) ³√9·⁶√3; c) √2·⁴√2·⁸√2; d) ⁴√8·³√4; e) ⁴√125·√5; f) ³√81·√3.
5. Suma y simplifica: a) 5√x+3√x+2√x; b) √18+√50-√2-√8; c) √50a-√18a; d) ³√16+³√54-³√250.

Soluciones de radicales

1. a) ³√(x⁴)=x·³√x (si x≥0); b) ³√(x²); c) y²; d) √2; e) ³√4; f) √3.
2. ⁴√31≈2,36 y ³√13≈2,35; por tanto ⁴√31 es ligeramente mayor.
3. a) ³⁶√(a¹⁵) y ³⁶√(a¹⁴); b) ⁹√(51³) y ⁹√132650.
4. a) ¹⁵√(2⁸); b) ⁶√(3⁵); c) ⁸√(2⁷); d) ¹²√(2¹⁷)=2·¹²√(2⁵); e) ⁴√(5⁵)=5·⁴√5; f) ⁶√(3¹¹)=3·⁶√(3⁵).
5. a) 10√x; b) 3√2+5√2-√2-2√2=5√2; c) (5√2-3√2)√a=2√(2a); d) 2³√2+3³√2-5³√2=0.

6. Racionalización

Racionalizar consiste en eliminar radicales del denominador multiplicando numerador y denominador por un factor adecuado.

Un radical cuadrado: 7/√2 = 7√2/2.

Raíz cúbica: 1/∛25 = ∛5/5.

Binomio conjugado: 7/(√5-√3)=7(√5+√3)/(5-3)=7(√5+√3)/2.

2/(3+√7)=2(3-√7)/(9-7)=3-√7.

Vídeo: ejercicios de racionalización

Ejercicios

Racionaliza: 5/√7; 3/∛4; √(7/3); 1/√(a³); 3/√50; 4/√18; 2/∛25; 1/∛40; 3/∛36; 2/∛100; 1/(√2+1); (a-1)/(√a-1); 1/(2√3-√5); (3√2+2√3)/(3√2-2√3).

Soluciones de racionalización

5√7/7; 3∛16/4; √21/3; √a/a²; 3√2/10; 2√2/3; 2∛5/5; ∛25/10; ∛6/2; ∛10/5; √2-1; √a+1; (2√3+√5)/7; 5+2√6.

7. Logaritmos

El logaritmo de N en base a es el exponente al que hay que elevar a para obtener N.

log_aN=x ⇔ a^x=N

Condiciones: a>0, a≠1 y N>0. No existen logaritmos reales de cero ni de números negativos.

Propiedades

Propiedad	Regla
Producto	log(AB)=log A+log B
Cociente	log(A/B)=log A-log B
Potencia	log(An)=n log A
Raíz	log(ⁿ√A)=(1/n)log A
Base	logaa=1; loga1=0
Cambio de base	logaN=log N/log a

No existen reglas para sumas: log(A+B) no es log A+log B.

Ejemplo: log(3x²/√y)=log3+2logx-(1/2)logy.

Vídeo: aplicación de propiedades

Ejercicios básicos resueltos

1. log₂16=4.
2. log₂0,25=-2.
3. log₉1=0.
4. log₁₀0,1=-1.
5. log₄64=3.
6. log₇49=2.
7. ln(e⁴)=4.
8. ln(e^-1/4)=-1/4.
9. log₅0,04=-2.
10. log₆(1/216)=-3.

Vídeo: ejercicios 3, 4 y 5

Vídeo: ejercicios 6, 7 y 8

Vídeo: propiedades de logaritmos

Ejercicios de las capturas

1. Resuelve: a) log₃(3^x)=2; b) log_x(x²)=-2; c) 7^x=115; d) 5^-x=3; e) log₇(3x)=0,5; f) 3^2+x=172.
2. Desarrolla: a) log[a²∛(b³)/(100c⁴)]; b) ln[⁴√(x³)·e⁵/√y].
3. Halla x: a) ln x=ln17+ln13; b) log x=log36-log9; c) ln x=3ln5-2ln10; d) log x=3log2-(1/2)log25.
4. Si log₅k=x, expresa: log₅(100k), log₅(k/1000), log₅(k³), log₅∛(10k), log₅(1/k) y √(log₅k).
5. Obtén la relación: a) log z=2logx-logy; b) logz=2-logx-(1/2)logy; c) logz=1-(1/2)(logx-logy); d) lnz=1-2lnx+2lny.

Soluciones desarrolladas

1. a) x=2. b) No tiene solución real admisible, pues log_x(x²)=2 para x>0, x≠1. c) x=ln115/ln7. d) x=-ln3/ln5. e) 3x=√7, x=√7/3. f) x=ln172/ln3-2.
2. a) 2loga+logb-2-4logc. b) (3/4)lnx+5-(1/2)lny.
3. a) x=17·13=221. b) x=36/9=4. c) x=5³/10²=5/4. d) x=2³/√25=8/5.
4. x+log₅100; x-log₅1000; 3x; [x+log₅10]/3; -x; √x.
5. a) z=x²/y. b) z=100/(x√y). c) z=10√(y/x). d) z=e·y²/x².

Vídeo de prueba de clase: potencias, raíces y logaritmos

8. Factoriales y números combinatorios

El factorial de n es el producto de los naturales desde n hasta 1.

n!=n(n-1)(n-2)...3·2·1,   0!=1

5!=5·4·3·2·1=120.

El número combinatorio «m sobre n» cuenta las formas de elegir n elementos de un conjunto de m sin importar el orden.

C(m,n)=m!/[n!(m-n)!]

C(7,3)=7!/(3!4!)=(7·6·5)/(3·2·1)=35.

Propiedades

• C(m,0)=C(m,m)=1.
• C(m,n)=C(m,m-n).
• C(m-1,n-1)+C(m-1,n)=C(m,n), regla de Pascal.

Ejercicios resueltos

1. 8!/6!=8·7=56.
2. C(10,2)=10·9/2=45.
3. C(12,10)=C(12,2)=66.
4. C(9,4)+C(9,5)=2C(9,4)=252.

9. Triángulo de Tartaglia y binomio de Newton

Las filas 1; 1,1; 1,2,1; 1,3,3,1; 1,4,6,4,1... proporcionan los coeficientes de las potencias de un binomio.

(a+b)ⁿ=Σ_k=0ⁿC(n,k)a^n-kb^k

Ejemplo: (x+3)⁵=x⁵+15x⁴+90x³+270x²+405x+243.

Ejercicios de las capturas

1. Desarrolla: a) (x+3)⁵; b) (2x-x²)⁴; c) (x/2+1/x)⁶.
2. Calcula el coeficiente de x⁵ en (x²/2-3/x)⁷.
3. Desarrolla: a) (a²-3b)⁷; b) (a/3+2b)⁵.
4. Halla el noveno término de (x²-y²)¹².
5. Halla el término central de (√a+b/2)⁶.
6. Coeficiente de x⁵ en (2/x-x³)⁷.
7. Quinto término de (1/x²-2x)⁸.
8. Coeficiente del sexto término de (x/2+3x²)⁸.

Soluciones del binomio de Newton

1. a) x⁵+15x⁴+90x³+270x²+405x+243. b) x⁸-8x⁷+24x⁶-32x⁵+16x⁴. c) x⁶/64+3x⁴/16+15x²/16+5/2+15/(4x²)+3/x⁴+1/x⁶.
2. El exponente es 14-3k=5, luego k=3. Coeficiente: C(7,3)(1/2)⁴(-3)³=-945/16.
3. a) a¹⁴-21a¹²b+189a¹⁰b²-945a⁸b³+2835a⁶b⁴-5103a⁴b⁵+5103a²b⁶-2187b⁷. b) a⁵/243+10a⁴b/81+40a³b²/27+80a²b³/9+80ab⁴/3+32b⁵.
4. T₉=C(12,8)(x²)⁴(-y²)⁸=495x⁸y¹⁶.
5. T₄=C(6,3)(√a)³(b/2)³=(5/2)a√a·b³.
6. El exponente es -(7-k)+3k=-7+4k. Si -7+4k=5, entonces k=3. Coeficiente: C(7,3)·2⁴·(-1)³=-560.
7. T₅=C(8,4)(1/x²)⁴(-2x)⁴=1120/x⁴.
8. T₆=C(8,5)(x/2)³(3x²)⁵=1701x¹³; su coeficiente es 1701.

10. Tutor socrático de Matemáticas

Si te bloqueas, utiliza el tutor para recibir preguntas y pistas progresivas. No sustituirá tu razonamiento ni te dará directamente la respuesta.

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Consulta recomendada: «Estoy resolviendo..., he aplicado..., y me bloqueo en...». Incluye siempre tu intento.

Comprueba que sabes...

• Representar intervalos y resolver expresiones con valor absoluto.
• Aplicar correctamente propiedades de potencias y radicales.
• Racionalizar denominadores.
• Definir logaritmos, usar sus propiedades y resolver ecuaciones sencillas.
• Calcular factoriales y números combinatorios.
• Aplicar el binomio de Newton y localizar términos concretos.