1 BACHILLERATO: NÚMEROS REALES Y ÁLGEBRA

Tema 0 - Números reales y álgebra

Repaso de conjuntos numéricos, intervalos, valor absoluto, potencias, radicales, racionalización, logaritmos, factoriales, números combinatorios y binomio de Newton.

Índice

1. Números reales
2. Intervalos y semirrectas
3. Valor absoluto
4. Propiedades de las potencias
5. Radicales
6. Racionalización
7. Logaritmos
8. Factoriales y combinatorios
9. Binomio de Newton
10. Ejercicios propuestos
11. Tutor socrático

1. Números reales y recta real

Los números reales reúnen los números racionales y los irracionales.

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ    y    ℝ=ℚ∪I,   ℚ∩I=∅

Naturales ℕ
0,1,2,3,...

Enteros ℤ
...,-2,-1,0,1,2,...

Racionales ℚ
Fracciones y decimales exactos o periódicos.

Irracionales I
Decimales infinitos no periódicos: √2, π...

Cada real corresponde a un único punto de la recta real y cada punto representa un real.

▶ Vídeo · Números reales e intervalos

2. Repaso de intervalos

Tipo	Notación	Desigualdad
Abierto	(a,b)	a<x<b
Cerrado	[a,b]	a≤x≤b
Semiabierto	[a,b)	a≤x<b
Semiabierto	(a,b]	a<x≤b
Semirrecta derecha	(a,+∞), [a,+∞)	x>a, x≥a
Semirrecta izquierda	(-∞,b), (-∞,b]	x<b, x≤b
Recta	(-∞,+∞)	ℝ

El infinito nunca se incluye: junto a +∞ o -∞ siempre se escribe paréntesis.

Unión e intersección

La unión A∪B contiene los elementos que están en A o en B. La intersección A∩B contiene los que pertenecen a ambos.

Ejemplo · Unión e intersección

[-2,3]∪(1,5)=[-2,5) y [-2,3]∩(1,5)=(1,3].

3. Valor absoluto

|x| representa la distancia de x al 0; por ello nunca es negativo.

|x|={x si x≥0; -x si x<0}

• |x|<a ⇔ -a<x<a.
• |x|≤a ⇔ -a≤x≤a.
• |x|>a ⇔ x<-a o x>a.
• |x-c| mide la distancia de x al punto c.

Ejemplo 1 · Valor absoluto

|x|≥3 ⇔ x≤-3 o x≥3. Solución: (-∞,-3]∪[3,+∞).

Ejemplo 2 · Valor absoluto

|x-2|<3 ⇔ -3<x-2<3 ⇔ -1<x<5. Solución: (-1,5).

4. Propiedades de las potencias

Para a,b≠0 y exponentes enteros:

Propiedad	Regla
Producto de igual base	am·an=am+n
Cociente de igual base	am/an=am-n
Potencia de potencia	(am)n=amn
Potencia de producto	(ab)n=anbn
Potencia de cociente	(a/b)n=an/bn
Exponente cero	a0=1
Exponente negativo	a-n=1/an
Exponente fraccionario	am/n=ⁿ√(am)

Ejemplo · Propiedades de las potencias

(x³y^-2)²·x^-1 = x⁶y^-4x^-1 = x⁵/y⁴.

No confundas: (a+b)² no es a²+b², sino a²+2ab+b².

▶ Vídeo · Potencias: propiedades y ejercicios

▶ Vídeo · Errores típicos

5. Radicales

Un radical equivale a una potencia de exponente fraccionario:

ⁿ√(a^m)=a^m/n

Propiedad	Expresión
Producto	ⁿ√a·ⁿ√b=ⁿ√(ab)
Cociente	ⁿ√a/ⁿ√b=ⁿ√(a/b)
Raíz de raíz	ᵐ√(ⁿ√a)=ᵐⁿ√a
Extracción	ⁿ√(anb)=aⁿ√b, con las condiciones de signo correspondientes

Dominio: si el índice es par, el radicando debe ser no negativo. Además, √(x²)=|x|, no siempre x.

Simplificar y reducir a índice común

Ejemplo · Simplificar y reducir a índice común

¹²√(x⁸)=³√(x²) porque dividimos índice y exponente entre 4.
¹²√(a⁵) y ¹⁸√(a⁷) pasan a índice 36: ³⁶√(a¹⁵) y ³⁶√(a¹⁴).

▶ Vídeo · Propiedades y radicales equivalentes

▶ Vídeo · Radicales y ejercicios

Producto, cociente, suma y resta

Para sumar o restar radicales deben ser semejantes: mismo índice y mismo radicando después de simplificar.

Ejemplo · Suma y resta de radicales

√12+2√27-√3 = 2√3+6√3-√3=7√3.

▶ Vídeo · Producto y cociente de radicales

▶ Vídeo · Suma y resta de radicales

▶ Vídeo · Identidades notables y radicales

6. Racionalización

Racionalizar consiste en eliminar radicales del denominador multiplicando numerador y denominador por un factor adecuado.

Ejemplo 1 · Un radical cuadrado

7/√2 = 7√2/2.

Ejemplo 2 · Raíz cúbica

1/∛25 = ∛5/5.

Ejemplo 3 · Binomio conjugado

7/(√5-√3)=7(√5+√3)/(5-3)=7(√5+√3)/2.

Ejemplo 4 · Racionalización

2/(3+√7)=2(3-√7)/(9-7)=3-√7.

▶ Vídeo · Racionalización

▶ Vídeo · Ejercicios de racionalización

7. Logaritmos

El logaritmo de N en base a es el exponente al que hay que elevar a para obtener N.

log_aN=x ⇔ a^x=N

Condiciones: a>0, a≠1 y N>0. No existen logaritmos reales de cero ni de números negativos.

Propiedades

Propiedad	Regla
Producto	log(AB)=log A+log B
Cociente	log(A/B)=log A-log B
Potencia	log(An)=n log A
Raíz	log(ⁿ√A)=(1/n)log A
Base	logaa=1; loga1=0
Cambio de base	logaN=log N/log a

No existen reglas para sumas: log(A+B) no es log A+log B.

Ejemplo · Propiedades de logaritmos

log(3x²/√y)=log3+2logx-(1/2)logy.

▶ Vídeo · Logaritmos: introducción y propiedades

▶ Vídeo · Aplicación de propiedades

▶ Vídeo · Ejercicios de logaritmos 1 y 2

▶ Vídeo · Ejercicios de logaritmos 3, 4 y 5

▶ Vídeo · Ejercicios de logaritmos 6, 7 y 8

▶ Vídeo · Propiedades de logaritmos

▶ Vídeo · Prueba de clase: potencias, raíces y logaritmos

8. Factoriales y números combinatorios

El factorial de n es el producto de los naturales desde n hasta 1.

n!=n(n-1)(n-2)...3·2·1,   0!=1

Ejemplo · Factorial

5!=5·4·3·2·1=120.

El número combinatorio «m sobre n» cuenta las formas de elegir n elementos de un conjunto de m sin importar el orden.

C(m,n)=m!/[n!(m-n)!]

Ejemplo · Número combinatorio

C(7,3)=7!/(3!4!)=(7·6·5)/(3·2·1)=35.

Propiedades

• C(m,0)=C(m,m)=1.
• C(m,n)=C(m,m-n).
• C(m-1,n-1)+C(m-1,n)=C(m,n), regla de Pascal.

9. Triángulo de Tartaglia y binomio de Newton

Las filas 1; 1,1; 1,2,1; 1,3,3,1; 1,4,6,4,1... proporcionan los coeficientes de las potencias de un binomio.

(a+b)ⁿ=Σ_k=0ⁿC(n,k)a^n-kb^k

Ejemplo · Binomio de Newton

(x+3)⁵=x⁵+15x⁴+90x³+270x²+405x+243.

Comprueba que sabes...

• Representar intervalos y resolver expresiones con valor absoluto.
• Aplicar correctamente propiedades de potencias y radicales.
• Racionalizar denominadores.
• Definir logaritmos, usar sus propiedades y resolver ecuaciones sencillas.
• Calcular factoriales y números combinatorios.
• Aplicar el binomio de Newton y localizar términos concretos.

Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos I

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✓ Soluciones

Ejercicios propuestos II

📄 Enunciados

✓ Soluciones

Ejercicios propuestos III

📄 Enunciados

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