Probabilidad
Estadística II · 2.º de Bachillerato · Preparación para Selectividad
1. Experimentos aleatorios y sucesos
Un experimento aleatorio puede repetirse en condiciones semejantes, tiene varios resultados posibles y no permite predecir con certeza cuál ocurrirá. El espacio muestral, E, reúne todos los resultados posibles; un suceso es cualquier subconjunto de E.
- Suceso elemental: contiene un único resultado.
- Suceso seguro: coincide con E.
- Suceso imposible: es ∅.
- Suceso contrario: Ac contiene los resultados de E que no pertenecen a A.
Ejemplo 1. Urna con bolas numeradas
Una urna contiene diez bolas numeradas del 1 al 10:
E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
Si A = “obtener par”, B = “obtener primo” y C = “obtener un número menor que 8”:
A = {2,4,6,8,10}, B = {2,3,5,7}, C = {1,2,3,4,5,6,7}
Vídeo 1. Experimentos aleatorios, espacio muestral y sucesos
2. Operaciones con sucesos
| Operación | Significado | Expresión |
|---|---|---|
| Contrario | No ocurre A | Ac |
| Unión | Ocurre A, B o ambos | A ∪ B |
| Intersección | Ocurren A y B | A ∩ B |
| Diferencia | Ocurre A pero no B | A - B = A ∩ Bc |
(A ∪ B)c = Ac ∩ Bc y (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc
Dos sucesos son incompatibles cuando A ∩ B = ∅.
Ejemplo 2. Operaciones con conjuntos
Con E = {1,…,10}, A = {2,3,5,7,9} y B = {1,3,4,5,6}:
A - B = {2,7,9}, B - A = {1,4,6}, A ∩ B = {3,5}
Vídeo 2. Operaciones con sucesos y leyes de Morgan
3. Probabilidad
La probabilidad mide la incertidumbre de un suceso y siempre cumple 0 ≤ P(A) ≤ 1, P(E)=1 y P(∅)=0.
3.1. Regla de Laplace
Solo puede aplicarse cuando los resultados elementales son equiprobables:
P(A) = n.º de casos favorables a An.º de casos posibles
Ejemplo 3. Aplicación de Laplace
Al lanzar un dado, los múltiplos de 3 son 3 y 6:
P(múltiplo de 3) = 26 = 13
En una baraja española de 40 cartas hay 12 figuras:
P(figura) = 1240 = 310 = 0,3
3.2. Propiedades fundamentales
P(Ac) = 1 - P(A)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A - B) = P(A) - P(A ∩ B)
Si A y B son incompatibles, P(A ∪ B)=P(A)+P(B).
Ejemplo 4. Unión de sucesos
Si P(A)=0,55, P(B)=0,40 y P(A∩B)=0,25:
P(A∪B)=0,55+0,40-0,25=0,70
Vídeo 3. Definición, propiedades y regla de Laplace
4. Probabilidad condicionada e independencia
La probabilidad de A sabiendo que ha ocurrido B es:
P(A|B) = P(A ∩ B)P(B), P(B) ≠ 0
Equivale a restringir el espacio muestral al suceso B. De la fórmula se obtiene la regla del producto:
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B) = P(A) · P(B|A)
A y B son independientes si conocer uno no modifica la probabilidad del otro:
A y B independientes ⇔ P(A ∩ B)=P(A)·P(B)
No confundir: incompatibles significa que no pueden ocurrir juntos; independientes significa que uno no influye en el otro. Dos sucesos de probabilidad no nula no pueden ser simultáneamente incompatibles e independientes.
Ejemplo 5. Probabilidad condicionada
En un grupo, el 60 % aprueba Matemáticas, el 50 % aprueba Historia y el 30 % aprueba ambas:
P(H|M)=P(H∩M)P(M)=0,300,60=0,50
Como P(H|M)=P(H), los sucesos son independientes.
Vídeo 4. Probabilidad condicionada e independencia
5. Probabilidad total y teorema de Bayes
Si A₁,…,Aₙ forman una partición del espacio muestral, entonces:
P(B)=P(A₁)P(B|A₁)+···+P(Aₙ)P(B|Aₙ)
El teorema de Bayes permite invertir la condición:
P(Aᵢ|B)=P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ)P(B)
Ejemplo 6. Urnas, probabilidad total y Bayes
La urna A contiene 3 bolas rojas y 2 blancas; la B contiene 2 rojas y 3 blancas. Se pasa una bola de A a B y después se extrae una bola de B.
P(R₂)=35·36+25·26=1330
Si la segunda bola fue roja, la probabilidad de que la primera fuera blanca es:
P(B₁|R₂)=(2/5)·(2/6)13/30=413
Vídeo 5. Probabilidad total y teorema de Bayes
6. Diagramas en árbol y tablas de contingencia
6.1. Diagramas en árbol
- En cada bifurcación, las probabilidades suman 1.
- La probabilidad de un camino se obtiene multiplicando sus ramas.
- La probabilidad de varios caminos incompatibles se obtiene sumándolos.
- Con reposición, las probabilidades se mantienen; sin reposición, cambian.
6.2. Tablas de contingencia
Organizan dos variables o dos sucesos. Cada celda representa una intersección; los totales de fila y columna proporcionan las probabilidades marginales.
| B | Bc | Total | |
|---|---|---|---|
| A | P(A∩B) | P(A∩Bc) | P(A) |
| Ac | P(Ac∩B) | P(Ac∩Bc) | P(Ac) |
| Total | P(B) | P(Bc) | 1 |
6.3. Estrategia para Selectividad
- Define claramente los sucesos.
- Traduce “y” como intersección, “o” como unión y “sabiendo que” como condicionada.
- Decide si conviene usar diagrama en árbol, tabla o fórmulas.
- Conserva valores exactos durante el cálculo y redondea solo al final.
- Comprueba que el resultado esté entre 0 y 1 y responde con una frase contextualizada.
Vídeo 6. Diagramas en árbol y tablas de contingencia
7. Banco completo de problemas
Problemas propuestos I: experimentos aleatorios y operaciones con sucesos
Problema 1
Para cada uno de los siguientes experimentos que se detallan, indica si son aleatorios o no: a) Medir la longitud de una carretera b) Lanzar un dado y anotar la suma de los puntos de las caras visibles c) Calcular el precio final de una compra d) Pesar una botella de agua de 2 litros e) Sacar una bola de una bolsa que contiene 6 bolas de diferentes colores y anotar el color f) Extraer una carta de una baraja española y anotar el palo al que pertenece.
Problema 2
Se considera el experimento que consiste en lanzar un dado con 12 caras numeradas del 1 al 12 y los siguientes sucesos:
𝐴 = Salir número par
𝐵 = Salir número múltiplo de 3
𝐶 = Salir número múltiplo de 5
𝐷 = Salir número mayor o igual que 6
𝐸 = Salir número menor que 5
a) Describe los sucesos indicando los sucesos elementales que los componen
b) ¿Cuáles son incompatibles dos a dos?
c) Calcula 𝐴 − 𝐵, 𝐴𝑐 ∪ 𝐸, 𝐶 𝑐 ∩ 𝐴.Problema 3
Se lanza un dado cúbico, se anota la suma de las puntuaciones de las caras visibles y se consideran los sucesos:
𝐴 = Salir número par
𝐵 = Salir número mayor que 16
𝐶 = Salir número múltiplo de 3
a) Describe los sucesos indicando los sucesos elementales que los componen
b) Calcula (𝐴 ∪ 𝐵𝑐 ) ∩ 𝐶
c) Comprueba que se cumplen las leyes de De MorganProblema 4
Se extrae una carta de la baraja española. Razona si los sucesos A, B, C y D son compatibles o incompatibles: a) 𝐴 =≪ Sacar un as ≫ b) 𝐵 =≪ Sacar un basto ≫ c) 𝐶 =≪ Sacar un caballo ≫ d) 𝐷 =≪ Sacar una figura ≫
Problemas propuestos II: concepto de probabilidad
Problema 5
Se lanzan tres monedas. Calcula la probabilidad de que: a) Las tres sean cara b) Se obtengan dos caras y una cruz c) Haya al menos una cara
Problema 6
Se extraen tres naipes de una baraja de 40. Calcula: a) La probabilidad de obtener tres ases b) La probabilidad de obtener un as, un caballo y un rey c) La probabilidad de obtener tres figuras d) La probabilidad de obtener algún caballo e) La probabilidad de no obtener ninguna figura
Problema 7
Extraemos tres bolas con reemplazamiento de una urna que contiene tres bolas blancas, dos azules y una roja. Calcula la probabilidad de que: a) Cada una sea de un color b) No haya ninguna blanca c) Se obtengan dos azules
Problema 8
Repite el ejercicio anterior suponiendo que no hay reemplazamiento.
Problema 9
Se extrae una carta de la baraja española (40 cartas). Calcula la probabilidad de que: a) Sea un basto o una espada b) Sea un basto o un rey c) Sea una figura o un caballo d) Sea una copa o una figura e) Sea un basto y un rey
Problema 10
Calcula el valor de x si en un dado se tiene que
𝑃(1) = 𝑃(2) = 𝑃(3) = 1/7
𝑃(4) = 𝑃(5) = 𝑃(6) = 𝑥Problema 11
En una urna hay 30 bolas azules, rojas y verdes. Si se sabe que la probabilidad de sacar bola roja o azul es de 2/3, ¿cuántas bolas hay de color verde?
Problema 12
Determina 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) sabiendo que 𝐴 y 𝐵 son sucesos incompatibles, 𝑃(𝐴𝑐 ) = 4/5 y 𝑃(𝐵) = 1/6
Problema 13
Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos tales que 𝑃(𝐴) ≠ 0 y 𝑃(𝐵) ≠ 0. Prueba que 𝐴 y 𝐵 no pueden ser independientes e incompatibles al mismo tiempo.
Problema 14
Sean 𝐴 y 𝐵 dos sucesos tales que 𝑃(𝐴) = 0,4, 𝑃(𝐵) = 0,6 y 𝑃(𝐴 − 𝐵) = 0,3
a) ¿Son 𝐴 y 𝐵 incompatibles?
b) Calcula 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
c) Halla 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
d) Determina 𝑃((𝐴 ∪ 𝐵)𝑐 )Problemas propuestos III: diagramas en árbol
Problema 15
De una urna que contiene cuatro bolas rojas y dos azules, extraemos una bola y, sin devolverla a la urna, extraemos otra a continuación.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sean de distinto color?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda bola sea azul?
c) Si la segunda bola es azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja?Problema 16
Se tienen dos urnas A y B con bolas de colores con la siguiente composición: la urna A contiene 3 bolas verdes, 4 negras y 3 rojas; mientras que la urna B contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras. Además, se tiene un dado con 2 caras marcadas con la letra A y 4 caras marcadas con la letra B. Se lanza el dado y se saca una bola al azar de la urna que ha indicado el dado.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea verde?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la bola sea roja?
c) Si la bola extraída es verde, ¿cuál es la probabilidad de que ésta proceda de la
urna B?Problema 17
Se estima que solo un 20 % de los que compran acciones en bolsa tienen conocimientos bursátiles. De ellos, el 80 % obtiene beneficios. De los que compran acciones sin conocimientos bursátiles, solo un 10 % obtiene beneficios.
a) Calcula el porcentaje de los que obtienen beneficios comprando acciones en bolsa.
b) Eligiendo una persona al azar, calcula la probabilidad de que no tenga conocimientos bursátiles y que no tenga beneficios al invertir en bolsa.Problema 18
Una enfermedad puede estar producida por tres virus A, B y C. En el laboratorio hay tres tubos de ensayo con el virus A, 2 tubos de ensayo con el virus B y 5 tubos de ensayo con el virus C. La probabilidad de que el virus A produzca la enfermedad en un animal es de 1/3, que la produzca el virus B es de 2/3, y que la produzca el virus C es de 1/7.
a) Si elegimos al azar un tubo de ensayo e inoculamos el virus a un animal, calcula la probabilidad de que contraiga la enfermedad.
b) Si se inocula el virus a un animal y contrae la enfermedad, calcula la probabilidad de que el virus que se ha inoculado sea del tipo C.Problema 19
Un ayuntamiento estima que el 60 % de los árboles de su localidad son de hoja caduca, y de ellos un 20 % son autóctonos del área geográfica. Sin embargo, de los árboles de hoja perenne (no caduca) los autóctonos ascienden al 70 %. Elegido al azar un árbol de esta localidad: a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea de hoja caduca y no sea autóctono? b) ¿Qué probabilidad hay de que el árbol sea autóctono? c) Sabiendo que el árbol es autóctono, ¿cuál es la probabilidad de que sea de hoja caduca?
Problema 20
Se tiene una prueba diagnóstica para una enfermedad con las siguientes propiedades: - La probabilidad de que el test dé positivo teniendo la enfermedad es 0,95. - La probabilidad de que el test dé negativo no teniendo la enfermedad es 0,95. - La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es 0,05. Realizada la prueba a una persona al azar, calcular: a) La probabilidad de que el test dé positivo. b) La probabilidad de tener la enfermedad cuando el test ha dado positivo.
Problema 21
Una empresa automovilística fabrica sus coches en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4.
El porcentaje de producción total de coches que se fabrica en cada factoría es del 40 %, 30 %, 20 % y 10 %, respectivamente, y además el porcentaje de pintado defectuoso en cada factoría es del 1 %, 2 %, 7 % y 4 %, respectivamente. Tomamos un coche al azar. Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el coche haya sido fabricado en la factoría F1 y
esté perfecto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la pintura del coche presente algún desperfecto?Problema 22
El 60 % de los coches de una marca se fabrican en su factoría de Valencia, el 25 % en Madrid y el resto en Lisboa. El 1 % de los coches fabricados en Valencia tiene algún defecto de fabricación, mientras que para los coches fabricados en Madrid y en Lisboa estos porcentajes son del 0,5 % y del 2 %, respectivamente. a) Elegido al azar un coche de esa marca, calcule la probabilidad de que no sea defectuoso. b) Si un coche de esa marca resulta ser defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido fabricado en Madrid?
Problema 23
En el enfermero de la doctora Martínez no se puede confiar, pues durante la ausencia del médico la probabilidad de que no le inyecte un suero a un enfermo es de 0, 6. Se sabe que si a un enfermo grave se le inyecta el suero tiene igual probabilidad de mejorar que de empeorar, pero si no se le inyecta entonces la probabilidad de que mejore es de 0, 25. A su regreso, la Dra. Martínez se encuentra con que un enfermo ha empeorado. Calcula la probabilidad de que el enfermero olvidara inyectar el suero a este paciente.
Problema 24
Un grupo de turistas programa una visita a la Geoda de Pulpí. El 42% de los turistas del grupo proceden de Andalucía, el 32% de otras comunidades autónomas y el resto del extranjero. Son mayores de edad el 65% de los visitantes que proceden de Andalucía y el 75% de los que proceden de otras comunidades autónomas. Son menores de edad el 20% de los visitantes extranjeros. Elegido un turista de este grupo al azar, halle la probabilidad de que: a) Sea mayor de edad. b) Proceda de Andalucía y sea menor de edad. c) Sea extranjero sabiendo que es menor de edad .
Problema 25
Un grupo de 15 amigas se van a pasar un fin de semana a una casa rural. Al llegar reparten las tareas: 3 irán al mercado, 2 a comprar leña y el resto se quedarán en la casa. Para realizar el reparto de las tareas se introducen 15 papeletas en una urna de las que 3 tienen la palabra “mercado”, 2 la palabra “leña” y el resto la palabra "casa”. Cada una coge una papeleta de forma ordenada y sin reposición. Calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Las dos primeras papeletas extraídas tienen escrita la palabra “mercado”. b) Las dos primeras papeletas extraídas no tienen escrita la palabra “casa”. c) Si la segunda papeleta extraída tiene escrita “leña”, ¿cuál es la probabilidad de que la primera también tenga escrita “leña”?
Problema 26
Python y JavaScript se encuentran entre los lenguajes de programación más estudiados por los programadores, con un 20 % y un 18 % de desarrolladores que se especializan únicamente en cada uno de ellos. El resto de desarrolladores se especializan entre una decena de lenguajes (HTML-CSS, Java, C,...). La probabilidad de que un desarrollador que se ha especializado en Python obtenga empleo es 0,85, mientras que la de que lo obtenga uno que se ha especializado en JavaScript es 0,9. También se sabe que la probabilidad de que un desarrollador esté desempleado es del 0,15. a) Calcula la probabilidad de que un desarrollador esté empleado si no ha estudiado Python ni JavaScript. b) Calcula la probabilidad de que un desarrollador que está desempleado se haya especializado en Python o JavaScript.
Problema 27
Una fábrica dispone de tres máquinas A, B y C para la fabricación de una cierta pieza.
El 25% de las piezas son fabricadas por la máquina A, el 35% por B y el resto por C.
Tras un estudio se determina que el 2’05% del total de piezas fabricadas son
defectuosas y que el 1% de las piezas fabricadas por B son defectuosas.
a) Se selecciona una pieza al azar y resulta no ser defectuosa, ¿qué probabilidad
hay de que fuera fabricada por la máquina B?
b) Si A y C tienen la misma probabilidad de fabricar una pieza defectuosa, ¿cuál es
la probabilidad de que una pieza sea fabricada por A sabiendo que es defectuosa?Problema 28
Una tienda vende ropa de tallas 𝑀, 𝐿 y 𝑋𝐿. Se sabe que el 65% de sus clientes son mujeres. El 50% de las mujeres que compran ropa en esa tienda usan la talla 𝑀 y el
10 % la talla 𝑋𝐿. De los hombres, el 40% usan la talla 𝐿 y el 45% la 𝑋𝐿.
a) ¿Qué porcentaje de mujeres que compran ropa en esa tienda no usan la talla 𝑋𝐿?
b) Halle el porcentaje de clientes que no usan la talla 𝐿.
c) De los clientes que usan la talla 𝑀, ¿qué porcentaje son mujeres?Problema 29
En una empresa, el 30% de los empleados ejercen de economistas y el 25% ejercen
de abogados. El 75% de los economistas y el 60% de los abogados ocupan puestos
directivos, mientras que, de los empleados que no ejercen ni de economistas ni de
abogados, el 15% ocupa un puesto directivo. Seleccionado un empleado al azar de esta
empresa, calcule la probabilidad de que:
a) No ocupe un puesto directivo.
b) Ejerza de economista sabiendo que ocupa un puesto directivo.Problema 30
Se ha realizado un estudio a personas que están teletrabajando actualmente. De
estos, el 72% trabajan por cuenta ajena con contrato indefinido, el 11% lo hacen por
cuenta ajena con contrato temporal y el resto trabajan por cuenta propia. El 87% de
los que tienen contrato indefinido y el 86% de los que trabajan por cuenta propia
piensan que el teletrabajo mejora la conciliación familiar. Además, este estudio ha
revelado que el 12’51% de los trabajadores opinan que el teletrabajo no mejora la
conciliación familiar. Seleccionado un teletrabajador al azar, determine la
probabilidad de que:
a) Opine que el teletrabajo sí mejora la conciliación familiar sabiendo que tienen un contrato temporal.
b) No esté trabajando por cuenta propia sabiendo que opina que el teletrabajo mejora la conciliación familiar.Problema 31
Para tratar cierta enfermedad, en un hospital se utilizan tres fármacos distintos, A,
B y C, administrándose a cada enfermo un solo fármaco. El 30% de los pacientes es
tratado con el fármaco A, el 50% es tratado con el B y el resto con el fármaco C. La
probabilidad de que la enfermedad se cure con el fármaco A es de 0.6, de que se
cure con el fármaco B es de 0.8 y de que se cure con el fármaco C es de 0.7. Se elige
al azar un paciente de ese hospital con esa enfermedad.
a) Calcule la probabilidad de que el paciente se cure.
b) Sabiendo que el paciente se ha curado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido tratado con el fármaco A?Problema 32
Una tienda vende caramelos con sabor a frutas (naranja ó limón) y a menta. El 60%
son azucarados y de estos el 25% son de limón. De los no azucarados, el 40% son de
naranja, el 30% son de limón y el resto de menta. Además, el 40% de todos los
caramelos son de naranja. Se escoge un caramelo al azar de esa tienda.
a) Calcula la probabilidad de que sea de naranja sabiendo que es azucarado.
b) Razona si es más probable que sea de sabor a frutas o a menta.Problema 33
Se hace un estudio sobre el café que se consume en la cafetería de una estación.
Según el tipo de taza tenemos tres opciones: expreso, medio y americano; con
porcentajes, respectivamente, de 29%, 51% y 20%. Por otra parte, también sabemos
que el café puede ser de la variedad que tiene cafeína o ser descafeinado. En
concreto, las tazas de café con cafeína presentan, para cada uno de los tipos de taza
establecidos antes, los porcentajes 18%, 31% y 11%, respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona adquiera un café expreso descafeinado?
b) Si sabemos que es descafeinado, ¿cuál es la probabilidad de que sea un expreso?Problema 34
Una empresa fabrica bolígrafos en tres provincias: Almería, Barcelona y Cáceres. El
porcentaje de producción total de bolígrafos que se fabrica en cada provincia es,
respectivamente, del 20%, 50% y 30%. Además, el porcentaje de bolígrafos
defectuosos en cada una de ellas es del 7%, 6% y 2%, respectivamente.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un bolígrafo, tomado al azar, sea defectuoso?
b) Si se ha escogido un bolígrafo no defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que provenga de Almería?Problema 35
En una casa con trastero viven tres personas y cada una tiene un llavero con las llaves
de la casa. El primer llavero contiene 7 llaves, el segundo 8 y el tercer 5. En cada uno
de los llaveros hay una única llave que abre el trastero. Otra persona necesita abrir
el trastero y, para ello, selecciona un llavero al azar y, de este, elige una llave
aleatoriamente e intenta abrirlo. Calcule la probabilidad de que:
a) No haya acertado con la llave seleccionada.
b) El llavero sea el tercero y la llave abra el trastero.
c) Sabiendo que la llave elegida abre el trastero, esta pertenezca al primer o al tercer llavero.
d) Si la llave no abre el trastero, esta no pertenezca al primer llavero .Problema 36
Un nuevo servicio de streaming utiliza un algoritmo para recomendar películas a sus
usuarios en función de las películas vistas anteriormente. Como la plataforma es de
reciente creación, solo tiene disponibles tres géneros: ciencia ficción, terror y
musicales. El 62% de las películas disponibles son de ciencia ficción, la cuarta parte
son de terror y el resto musicales. De las películas de ciencia ficción, el algoritmo
hace una recomendación correcta en el 70% de las ocasiones, de las de terror, el
75% de las veces y de los musicales, el 15%. Un usuario selecciona al azar una película
de su lista de recomendaciones:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el algoritmo haya hecho una recomendación correcta?
b) Si no ha sido recomendada correctamente, ¿qué probabilidad hay de que la película sea de terror?
c) De las recomendaciones correctas del género de ciencia ficción, el usuario queda
satisfecho con la elección de la película en el 55% de las ocasiones. ¿Qué
probabilidad hay de que la película sea de ciencia ficción, esté recomendada
correctamente y el usuario haya quedado satisfecho?Problema 37
Una encuesta realizada a personas que utilizan productos de cosmética arroja los
siguientes datos: el 66% de las personas encuestadas son mujeres y, de estas, el 71
% utilizan cosmética natural. Además, se sabe que el 17’86 % son hombres que no
utilizan cosmética natural. Se selecciona una de estas personas al azar.
a) Calcule la probabilidad de que sea mujer o use cosmética natural.
b) Calcule la probabilidad de que sea hombre y utilice cosmética natural.
c) Sabiendo que no usa cosmética natural, calcule la probabilidad de que sea hombre.
d) ¿Son sucesos incompatibles "utilizar cosmética natural" y "ser mujer"? ¿Son independientes?Problema 38
En un estudio sobre la presencia de mujeres en las empresas tecnológicas se observa
que el 20 % de los operarios, el 40 % de los ingenieros y el 30 % de los directivos son
mujeres. Se sabe que en estas empresas el 20 % de las plantillas son directivos, el
35 % son ingenieros y el resto son operarios. Se elige un trabajador al azar de una
de estas empresas.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea un operario y sea mujer?
b) Si el trabajador elegido no es un operario, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?
c) Si el trabajador elegido es hombre, ¿a qué colectivo es más probable que pertenezca?Problema 39
Una empresa de tecnología fabrica tres modelos de teléfonos móviles: Básico,
Intermedio y Premium. Cada modelo puede estar fabricado con uno de los siguientes
tipos de pantalla: A o B. El 35 % de los móviles fabricados por esta empresa son del
modelo Básico, el 45 % son del Intermedio y el resto son Premium. Se sabe que el 80
% de los móviles fabricados del modelo Básico tienen una pantalla del tipo A, mientras
que en el modelo Premium solo un 5 % dispone de esta pantalla. Finalmente, el 53 %
de los teléfonos producidos tienen pantalla del tipo A. Se selecciona un teléfono al
azar de la línea de producción. Determine la probabilidad de que:
a) Tenga una pantalla del tipo A sabiendo que es del modelo Intermedio.
b) Sea del modelo Intermedio sabiendo que tiene pantalla del tipo AProblema 40
Los alumnos de un colegio de una localidad andaluza van a realizar una excursión a la
estación de esquí de Sierra Nevada desplazándose en tres autobuses A, B y C. En el
autobús A se desplazan cuatro novenos de los alumnos de la excursión, en el B se
desplaza la tercera parte y el resto vanen el autobús C. Se sabe que el 65% de los
alumnos que viajan en el autobús A y el 40% de los del autobús B no sabe esquiar y
todos los del autobús C sí que saben esquiar. Se escoge al azar a uno de los alumnos
de la excursión. Calcule la probabilidad de que:
a) Sepa esquiar.
b) Viaje en el autobús C, si sabe esquiar.
c) Sepa esquiar y no viaje en el autobús B .Problema 41
El 20 % de los estudiantes de danza de una localidad andaluza están matriculados en
la escuela A y el resto en la B. En estas escuelas se practica danza clásica y moderna
y cada estudiante solo se puede matricular en una de estas dos especialidades. De
los matriculados en A, el 70 % practica danza clásica y el resto danza moderna. Se
sabe también que el 32 % de los estudiantes de danza son de la escuela B y practican
danza clásica. Elegido al azar un estudiante de danza de la localidad, calcule la
probabilidad de que:
a) Practique danza clásica.
b) Practique danza moderna si es de la escuela B.
c) Estudie en la escuela B si resulta ser un estudiante de danza moderna.
d) Sea de la escuela A, practique danza clásica y realice un Máster, sabiendo que el 80 % de los estudiantes de danza clásica de la escuela A realiza un MásterProblemas propuestos IV: tablas de contingencia. Teoría
Problema 42
Sean A y B dos sucesos independientes tales que la probabilidad de que ocurran ambos simultáneamente es 1/3 y la de que no ocurra ninguno de ellos es 1/6. Calcula P(A) y P(B)
Problema 43
Dados dos sucesos 𝐴 y 𝐵 de un experimento aleatorio, con probabilidades tales que
𝑃(𝐴) = 4/9, 𝑃(𝐵) = 1/2 y 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 13/18. Se pide:
a) Comprobar si los sucesos A y B son independientes o no.
b) Calcular 𝑃(𝐴̅|𝐵), donde 𝐴̅ es el suceso complementario de A.Problema 44
Un dado con las caras numeradas del 1 al 6 está trucado de modo que la probabilidad de obtener un número es directamente proporcional a dicho número. Tiramos el dado una vez. a) Halla la probabilidad de que salga 3 si se sabe que salió un número impar. b) Calcula la probabilidad de que salga un número par si se sabe que salió un número mayor que 3.
Problema 45
En un club deportivo, el 55 % de los socios practica natación, el 65 % practica tenis, y el 10 % no practica ni natación ni tenis. a) Si el club tiene 1200 socios, ¿cuántos practicarían ambos deportes? b) Tomando al azar una persona de este club que practique natación, calcula la probabilidad de que no juegue al tenis.
Problema 46
De una baraja española (40 cartas) Carlos y Paula extraen 8 cartas: los cuatro ases y los cuatro reyes. Con esas 8 cartas, Paula da dos cartas a Carlos y posteriormente una para ella. Calcula: a) La probabilidad de que Carlos tenga dos ases b) La probabilidad de que Carlos tenga un as y un rey c) La probabilidad de que Paula tenga un as y Carlos no tenga dos reyes.
Problema 47
Se estudia una prueba diagnóstica para detectar una enfermedad en un grupo de 200000 personas a las que se ha sometido a dicha prueba y de los que el 0,5 % están
enfermos. Se ha observado que de los enfermos ha dado negativo a 50 personas y, de las sanas, le ha dado positivo a 19900. Si se escoge al azar una de estas personas sometidas a la prueba diagnóstica:
a) Calcula la probabilidad de que la prueba dé resultado positivo. ¿Cuál sería la probabilidad de que el resultado de la prueba sea erróneo?
b) Calcula la probabilidad de que la persona padezca la enfermedad, si el resultado
de la prueba es negativo.Problema 48
Una agencia ha realizado un estudio acerca de la siniestralidad de los vehículos de una región. Se ha dividido a los conductores en dos grupos: jóvenes los menores de 30 años y sénior al resto de conductores. Asimismo, también se ha dividido a los
vehículos en dos grupos: nuevos los que tienen menos de 5 años de antigüedad y viejos el resto de vehículos. De los 54 siniestros registrados, en 19 de ellos el vehículo
implicado era nuevo y en 29 los conductores eran jóvenes. Finalmente, 21 de los siniestros se dieron con vehículos viejos y conductores jóvenes. Se escoge uno de
estos siniestros al azar.
a) Calcule la probabilidad de que el conductor sea sénior y el vehículo viejo.
b) Calcule la probabilidad de que el conductor sea joven sabiendo que el vehículo es viejo.
c) Determine razonadamente si la siguiente afirmación es cierta: “Los siniestros de este estudio menos probables son aquellos en los que el conductor es sénior y el vehículo es nuevo”.Problema 49
En una encuesta realizada en una librería se ha determinado que el 45% de sus clientes compran novelas históricas, mientras que el 40% no compra novelas de fantasía. Además, de los clientes que compran novelas de fantasía, sólo el 30%
compran también novelas históricas. Elegido un cliente al azar, calcule la probabilidad de que:
a) Compre novelas históricas y de fantasía.
b) No compre novelas históricas y tampoco de fantasía.
c) Compre una novela de fantasía, sabiendo que no ha comprado ninguna novela histórica.Problema 50
Una empresa ha instalado 50 alarmas de las que 30 son de tipo básico y el resto de tipo superior. Se sabe que el 80% de todas las alarmas no presentan incidencias y que de las de tipo básico un 30% presentan alguna incidencia. Se elige al azar una de estas alarmas. Calcule la probabilidad de que:
a) Sea de tipo básico y no presente incidencias.
b) No presente incidencias siendo de tipo superior.
c) Teniendo incidencias sea de tipo básico.
d) Sea de "tipo básico y tenga incidencias" o sea de "tipo superior y no tenga incidencias".Problema 51
El 75% de los estudiantes de un centro aprueba la asignatura 𝐴 y un 55% aprueba la asignatura 𝐵. Además, un 35% del total de estudiantes aprueba ambas. Elegido un estudiante al azar de este centro, calcule las siguientes probabilidades:
a) No apruebe 𝐵 sabiendo que ha aprobado 𝐴.
b) Aprueba alguna de estas asignaturas.
c) No apruebe ni 𝐴 ni 𝐵.
d) Haya aprobado 𝐴 si se sabe que ha aprobado alguna de estas dos asignaturas.
e) Estudie si los sucesos “aprobar 𝐴” y “aprobar 𝐵” son independientes.Problema 52
En cierta localidad el 30% de los habitantes profesan la religión 𝐴 y el 50% profesan otras religiones diferentes de 𝐴. De los que profesan la religión 𝐴 el 40% son mujeres. De las mujeres el 25% profesa la religión 𝐴. Se elige un habitante al azar de esa localidad. Calcule la probabilidad de que:
a) No profese ninguna religión.
b) Sea hombre.
c) Solo verifique uno de los siguientes sucesos: "profesa la religión 𝐴"; "es mujer".Problema 53
El 7% de los habitantes de una ciudad no tienen coche ni moto. De entre los que tienen coche el 36% tienen moto y de entre los que no tienen coche el 28% no tienen moto. Se elige al azar un habitante de esa ciudad:
a) Calcule la probabilidad de que solo tenga uno de los dos vehículos.
b) Calcule la probabilidad de que al menos tenga uno de los dos vehículos.
c) Si tiene coche, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga moto?
d) ¿Son independientes los sucesos “tener coche” y “no tener moto”? ¿Son incompatibles?Problema 54
En una encuesta realizada en un instituto sobre los hábitos de los estudiantes en su tiempo libre, el 80% de los encuestados dedica el tiempo libre a enviar mensajes con el móvil o a jugar videojuegos, el 45% realiza ambas cosas y el 40% no juega a videojuegos. Si se elige un estudiante de ese instituto al azar, calcule la probabilidad de que dedique su tiempo libre a:
a) Enviar mensajes con el móvil y no jugar a videojuegos.
b) Jugar a videojuegos sabiendo que no envía mensajes con el móvil.
c) Hacer solamente una de las dos cosas.
d) No hacer ninguna de las dos cosas.Problema 55
El 32% de las microempresas tiene página web y el 64’6% ni tiene página web ni realiza ventas por comercio electrónico. De las microempresas que tienen página web, el 30% realiza ventas por comercio electrónico. Se selecciona al azar una microempresa.
a) Calcule la probabilidad de que tenga página web o realice ventas por comercio electrónico.
b) Calcule la probabilidad de que realice ventas por comercio electrónico.
c) Calcule la probabilidad de que no tenga página web y realice ventas por comercio electrónico.
d) Razone si son independientes los sucesos “Tener página web” y “Realizar ventas por comercio electrónico”. ¿Son incompatibles?Problema 56
Sean A y B dos sucesos del mismo espacio muestral tales que:
𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 3/7; 𝑃(𝐴𝑐 ) = 5/7; 𝑃(𝐵𝑐 ) = 2/7.
a) ¿Son A y B independientes? ¿Son A y B incompatibles?
b) Calcula 𝑃(𝐴𝑐 ∩ 𝐵𝑐 )
c) Calcula 𝑃(𝐵|𝐴𝑐 )Problema 57
Sean A y B dos sucesos de un mismo experimento aleatorio de los que se sabe que
𝑃(𝐴 − 𝐵) = 0,3, 𝑃(𝐴𝑐 ) = 0,35, 𝑃(𝐵) = 0,55
a) Calcula la probabilidad de que suceda al menos uno de ellos
b) Calcula la probabilidad de que ocurra B, sabiendo que no ha ocurrido A
c) Calcula la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos
d) Razona si los sucesos A y B son independientesProblema 58
Sean A y B dos sucesos de un mismo experimento aleatorio
a) Si 𝑃(𝐴) ≠ 0 y 𝑃(𝐵) ≠ 0, ¿pueden ser A y B independientes e incompatibles a la vez? Justifica la respuesta
b) Sabiendo que 𝑃(𝐴) = 0,3, 𝑃(𝐵) = 0,5, y 𝑃(𝐴|𝐵 ) = 0,2, calcula las siguientes probabilidades
𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) 𝑃(𝐴𝑐 ∪ 𝐵𝑐 ) 𝑃(𝐴 − 𝐵)Problema 59
De los sucesos A y B se sabe que 𝑃(𝐴) = 0,6, 𝑃(𝐵|𝐴 ) = 0,8 y 𝑃(𝐵|𝐴𝑐 ) = 0,1.
a) Calcula las probabilidad 𝑃(𝐵), 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) y 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵)
b) ¿Son los sucesos A y B independientes?Problema 60
En la siguiente tabla se recoge el número de motos y coches que se presentaron a la ITV en el año 2023:
Coches Motos
Aptos 116.383 160.667
No aptos 2.679 3.447
Se elige al azar un vehículo de entre los que se presentaron a la inspección:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el vehículo elegido sea una moto o haya resultado apto?
b) Si el vehículo elegido es un coche, ¿cuál es la probabilidad de que haya resultado no apto?Problema 61
En un determinado centro educativo, el 50% del alumnado aprueba Historia, el 70% aprueba Matemáticas y el 30% aprueba ambas asignaturas. Si se elige un alumno al azar: a) Halle la probabilidad de que apruebe solo una de las dos asignaturas. b) Halle la probabilidad de que no apruebe más de una asignatura. c) Halle la probabilidad de que apruebe Historia si ha suspendido Matemáticas. d) Determine si los sucesos “Aprobar Matemáticas” y “Aprobar Historia” son independientes? ¿Son incompatibles?
Soluciones ejercicios propuestos I
Soluciones ejercicios propuestos II
Soluciones ejercicios propuestos III
Soluciones ejercicios propuestos IV
8. Ejercicios de Selectividad
Ejercicios de Ponencia 2024
Ejercicios de Selectividad 2025 a 2026
Tutor socrático de probabilidad
Utiliza el tutor para plantear el problema, definir sucesos y recibir preguntas y pistas graduadas sin obtener directamente la solución.
No hay comentarios:
Publicar un comentario