1ESO: INTRODUCCIÓN AL ÁLGEBRA

Tema 7. Iniciación al álgebra

Lenguaje algebraico, monomios y ecuaciones de primer grado

Índice

1. Del lenguaje cotidiano al algebraico
2. Expresiones algebraicas y monomios
3. Suma y resta de monomios
4. Producto y división de monomios
5. Ecuaciones de primer grado
6. Banco de ecuaciones
   • Ejercicios propuestos I
   • Ejercicios propuestos II
   • Ejercicios propuestos III
   • Ejercicios propuestos IV
   • Ejercicios propuestos V
   • Ejercicios propuestos VI
   • Ejercicios propuestos VII
7. Pruebas y exámenes
8. Tutor socrático

1. Del lenguaje cotidiano al algebraico

El lenguaje algebraico sustituye cantidades desconocidas o variables por letras. Así podemos describir muchas situaciones con una sola expresión.

Lenguaje cotidiano	Lenguaje algebraico
El doble de un número	2x
El siguiente de un número	x + 1
La mitad de un número menos 3	x/2 - 3
El cuadrado de la suma de dos números	(x + y)2

Ejemplo 1. Las cajas de caramelos

Una caja contiene 35 caramelos y otra contiene una cantidad desconocida, x. En total hay 35 + x. Si añadimos dos caramelos a cada caja, tendremos 37 + (x + 2) = x + 39.

Ejemplo 2. Traducir un enunciado

“La tercera parte de la suma de dos números distintos” se escribe:

(x + y)/3

Los paréntesis son esenciales: indican que primero se suman los dos números.

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2. Expresiones algebraicas y monomios

Una expresión algebraica combina números, letras y operaciones. Su valor numérico se obtiene sustituyendo las letras por valores concretos y respetando el orden de las operaciones.

Un monomio es un producto formado por un coeficiente y una parte literal con exponentes naturales. Su grado es la suma de los exponentes.

grado(-3x²y³) = 2 + 3 = 5

Ejemplo 3. Valor numérico

Para P(x,y)=2x²-3y, si x=-2 e y=5:

P(-2,5)=2·(-2)²-3·5=2·4-15=-7

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3. Suma y resta de monomios

Solo se pueden reducir monomios semejantes, es decir, con la misma parte literal. Se operan los coeficientes y se conserva la parte literal.

3x² + 5x² - 2x² = (3 + 5 - 2)x² = 6x²

Si las partes literales son distintas, la operación queda indicada: 2x + 5y no puede reducirse.

Ejemplo 4. Agrupar términos semejantes

4x - 3y + 2x + 7y = (4x + 2x) + (-3y + 7y) = 6x + 4y

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4. Multiplicación y división de monomios

Al multiplicar, se operan los coeficientes y se suman los exponentes de las letras iguales. Al dividir, se dividen los coeficientes y se restan los exponentes.

(2x³y)·(3x²y⁴) = 6x⁵y⁵

12x⁵y³ / 4x²y = 3x³y²

La propiedad distributiva permite eliminar paréntesis:

3x(2x - 5 + y) = 6x² - 15x + 3xy

Ejemplo 5. Signos y exponentes

(-2x²y)·(-3xy³) = (+6)x³y⁴

El producto es positivo porque negativo por negativo es positivo.

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5. Ecuaciones de primer grado

Una ecuación es una igualdad que contiene una incógnita. Resolverla consiste en encontrar los valores que hacen verdadera la igualdad. En una ecuación de primer grado la incógnita aparece elevada a 1.

Principio de equivalencia: podemos sumar, restar, multiplicar o dividir los dos miembros por la misma cantidad distinta de cero sin cambiar la solución.

5.1. Método general

1. Elimina denominadores multiplicando por el mínimo común múltiplo, si los hay.
2. Elimina paréntesis aplicando la propiedad distributiva.
3. Reduce términos semejantes en cada miembro.
4. Reúne los términos con x en un miembro y los números en el otro.
5. Despeja x dividiendo por su coeficiente.
6. Comprueba la solución en la ecuación original.

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Ejemplo 6. Ecuación sencilla: 3x - 5 = 16

3x - 5 = 16

3x = 16 + 5 = 21

x = 21/3 = 7

Comprobación: 3·7 - 5 = 21 - 5 = 16.

Ejemplo 7. Incógnitas en ambos miembros

5x - 4 = 2x + 11

5x - 2x = 11 + 4

3x = 15 ⇒ x = 5

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Ejemplo 8. Con paréntesis

3(x - 2) + 4 = 2(x + 1)

3x - 6 + 4 = 2x + 2

3x - 2 = 2x + 2

x = 4

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Ejemplo 9. Con denominadores

(x + 1)/2 - (x - 2)/3 = 1

El m.c.m. de 2 y 3 es 6. Multiplicamos toda la ecuación por 6:

3(x + 1) - 2(x - 2) = 6

3x + 3 - 2x + 4 = 6

x + 7 = 6 ⇒ x = -1

Ejemplo 10. Identidad y ecuación incompatible

Si al reducir obtenemos 0 = 0, cualquier número es solución: hay infinitas soluciones. Si obtenemos una igualdad falsa, como 0 = 5, la ecuación no tiene solución.

2(x+1)=2x+2 ⇒ 2x+2=2x+2 ⇒ 0=0

2(x+1)=2x+5 ⇒ 2x+2=2x+5 ⇒ 0=3

6. Banco de ecuaciones

Las siete fichas avanzan desde ecuaciones inmediatas hasta ecuaciones con paréntesis y denominadores. Resuélvelas en orden y comprueba cada resultado.

Ejercicios propuestos I - Ficha 1

1. x + 1 = 2
2. x + 1 = 0
3. x + 2 = 1
4. x - 2 = 1
5. x + 1 = -2
6. x - 1 = -2
7. 2x = 4
8. 3x = -6
9. -4x = -8
10. -2x = 6
11. x/2 = 5
12. -x/3 = 2
13. -x/2 = -3
14. x/5 = 0
15. -x + 2 = 3
16. -x - 2 = -1
17. -x - 1 = -5
18. -x/2 = 4

Ejercicios propuestos II - Ficha 2

1. 2x - x + 4 + 2 = 8
2. 3x + 1 - 2x = 9 - 3
3. 6 + 2x - 4 = x - 1
4. -6 - 2x = -3x - 6
5. x + x + 4 + 2 = 8
6. 2x + x + 5 - 5 = 6
7. 2x - x - 3 - 5 = 2
8. 2x + 2 - 1 - x = 2
9. 5x - 4 = 3x - 2
10. 2x - 5 + 1 + x = x - 6
11. -2x - 5 = 6 - x - 2x
12. -10 - 4x + 2 = x - 3 - 4x
13. -9x - 6 + 4 = 4 + 2x - 8x
14. -x = -6 - 2 - 2x
15. 5x - 10 - 3x + 3 + 2x = 20 - x - 4 - 3 + 3x

Ejercicios propuestos III - Ficha 3

1. 2(x + 1) = 2
2. 3(x - 2) - x = 8
3. 4(-x - 1) + 5x - 2 = -2x - x
4. -2(x + 1) = -6
5. -2(x - 1) = 4
6. -2(-x - 1) = 5 + 1
7. 3 + 2(4 + 2x) + 1 = 20 - 2(2 - x)
8. -2 - x + 4(-2x - 3) = -8x + 1
9. 6(x - 2 + 3x) = -3(-4x + 1 - 5)
10. 6x = -4 + x + 3 + 1
11. x + 2(x + 1) = 4
12. 4(x - 3) - 5(x + 2) = 7(3x - 1) + 29
13. 6x + 2(1 + x) = 3x - 8 + x - 2
14. 3(x + 1) = 2(x + 3) - 1
15. 3(4 + 12x) - 6(2x + 3) = 36 + 2(3x + 2)

Ejercicios propuestos IV - Ficha 4

1. (x + 3)/2 = 12
2. (x - 2)/(-2) = 6
3. (-5 + x)/(-3) = -5
4. (-5 - x)/(-3) = -2
5. (x + 2)/2 = x + 1
6. -2x/3 = x + 10
7. (x - 3)/(-2) = 9 + 2x
8. (-6 + 3x)/(-2) = -4 - x
9. 6 + 2x - 1 = x/3
10. x/2 + 1 = 7
11. 4 + x/3 - 2 = 6
12. -6 - x = 5 + x/2
13. 3 - x + x/2 = 5
14. 3 - x + x/2 = 5

Ejercicios propuestos V - Ficha 5

1. 5 - 2x/2 = 10
2. 2 - (x - 1)/3 = 4
3. 6 + 2·(x + 1)/4 = 8
4. -2·(x + 1)/3 = 2 - x
5. -3x - 4x = 15 + x/2
6. 4(3x - 2) - 3(x + 1) = 5(x + 1) + 6
7. -2·(-4 - x)/(-3) = 10
8. -(x - 1)/3 = 3
9. 2x - 2 = x/3 + 3
10. 4 - (-x + 2)/5 = 0
11. 5 + 3x = 2(2x + 6)
12. 2x/3 - 5 = 15
13. 4 + x/2 = 6x
14. -x + x/2 = x - 1
15. -2·(x - 1)/3 + 2 = 6 - x

Ejercicios propuestos VI - Ficha 6

1. x/3 + 4x/2 = 6/2
2. x + 3x/2 = 7/4
3. 8/3 = 2x/9
4. x/2 + 1 = 2x/2
5. -x - x/5 = 6x/3 - 2
6. 8 - 5x = -3(2x + 4)
7. 7 - (-x + 8) + 2(4 - 3x) - 3(3x - 7) = 0
8. 7 - (x - 2)/4 = 6x
9. x/4 - x/3 = -1 - x/5
10. (x + 1)/4 - (x - 2)/3 = (x + 3)/2 - x - 1
11. x/2 - 4/3 = 0
12. x/4 = 6 - x/2
13. 2x/4 - x = 6
14. (x + 2)/3 + x/2 = 10
15. (x + 1)/10 - (x - 3)/6 = 0

Ejercicios propuestos VII - Ficha 7

1. (x + 2)/9 - (x - 1)/3 = -1
2. x - (x + 1)/2 = 3
3. x/3 + (x + 2)/4 - (x + 3)/9 = 3
4. x/2 + (x - 1)/3 - (x + 1)/4 = 1
5. (x + 1)/5 - (x + 3)/6 = 0
6. (x - 2)/6 - (x + 1)/3 + (x - 1)/2 = 0
7. (x + 1)/8 - (x - 1)/6 + (x + 3)/5 = 2
8. (x + 4)/7 + (x - 1)/2 + 4 = 7
9. (x + 1)/2 - (x - 2)/3 + 2 = 4
10. (x + 4)/2 - (x + 10)/4 - (x - 3)/5 = 0
11. (x - 3)/4 + (x - 6)/7 - (x - 1)/2 = -2
12. (x + 4)/2 - (x - 6)/3 = 4 - x
13. (x + 5)/3 + (x - 2)/2 = -x - 3
14. 2(x - 3)/6 = 1 - (9 - x)/6
15. 3(4x - 2)/6 = 11x/2 - 3(x + 1)/5

7. Pruebas y exámenes

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Prueba de clase 1

EnunciadoSoluciones

Prueba de clase 2

EnunciadoSoluciones

Examen de otro año 1

EnunciadoSoluciones

Examen de otro año 2

EnunciadoSoluciones

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