martes, 8 de noviembre de 2022

1 ESO: FRACCIONES

Tema 3. Fracciones

Fracciones y números racionales, fracciones equivalentes, comparación, suma y resta, producto, cociente y operaciones combinadas.

1. Fracciones y números racionales

Una fracción a/b es el cociente indicado por los números a y b, donde b ≠ 0.

Estos números se denominan números racionales y el conjunto de todos ellos se representa mediante ℚ.

Recuerda:
  • El número superior es el numerador.
  • El número inferior es el denominador.
  • El denominador nunca puede ser cero.

2. Fracciones equivalentes

Dos fracciones equivalentes representan el mismo número racional.

Si a/b y c/d son equivalentes, se cumple:

a · d = b · c

Podemos obtener infinitas fracciones equivalentes multiplicando o dividiendo el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero.

Dos procedimientos importantes:
  • Amplificar: multiplicar numerador y denominador por el mismo número.
  • Simplificar: dividir numerador y denominador por el mismo número.
Ver ejemplo 1 · ¿Son equivalentes?

Ejemplo 1. Comprobar si 4/5 y 12/15 son equivalentes.

Multiplicamos en cruz:

4 · 15 = 60
5 · 12 = 60

Como los dos productos cruzados son iguales, las fracciones representan la misma cantidad.

Resultado: 4/5 y 12/15 son equivalentes.

Ver ejemplo 2 · Completar fracciones equivalentes

Ejemplo 2. Completar 4/a = 12/15 = b/60.

Primero calculamos a. Usamos 4/a = 12/15 y multiplicamos en cruz:

4 · 15 = 12 · a
60 = 12a
a = 60 : 12 = 5

Ahora calculamos b. Pasar de 15 a 60 significa multiplicar por 4. Debemos hacer lo mismo con el numerador:

15 · 4 = 60
12 · 4 = 48
b = 48

Resultado: 4/5 = 12/15 = 48/60.

Ver ejemplo 3 · Simplificar hasta fracción irreducible

Simplificamos 42/60.

Paso 1. Buscamos un divisor común de 42 y 60. Ambos son divisibles por 2:

42/60 = 21/30.

Paso 2. 21 y 30 son divisibles por 3:

21/30 = 7/10.

Paso 3. 7 y 10 ya no tienen divisores comunes distintos de 1.

Resultado: 42/60 = 7/10.

También podríamos haber calculado MCD(42,60)=6 y dividir directamente numerador y denominador entre 6.

3. Comparación de fracciones

  • Igual denominador: comparamos los numeradores.
  • Distinto denominador: calculamos el mcm de los denominadores para obtener un denominador común.
Ver ejemplo · Ordenar fracciones de menor a mayor

Ordenamos 1/2, 4/5, 6/8 y 8/10 de menor a mayor.

Paso 1. Calculamos un denominador común:

mcm(2,5,8,10) = 40.

Paso 2. Transformamos todas las fracciones:

1/2 = 20/40
4/5 = 32/40
6/8 = 30/40
8/10 = 32/40

Paso 3. Como ahora tienen el mismo denominador, comparamos los numeradores: 20 < 30 < 32.

Resultado: 1/2 < 6/8 < 4/5 = 8/10.

▶ Ver vídeo · Comparación de fracciones I
▶ Ver vídeo · Comparación de fracciones II
▶ Ver vídeo · Comparación de fracciones III

4. Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos I · Equivalencia y denominador común
  1. Averigua si las siguientes fracciones son equivalentes:
    1. 2/6 y 8/9
    2. 4/9 y 20/46
    3. 3/5 y 9/18
    4. 10/35 y 6/21
  2. Encuentra la fracción irreducible:
    1. 30/28
    2. 13/18
    3. 28/40
    4. 95/165
    5. 24/168
    6. 70/224
  3. Reduce a común denominador los siguientes pares de fracciones:
    1. 3/4 y 2/6
    2. 1/5 y 1/2
    3. 5/8 y 7/4
    4. 2/7 y 3/21
    5. 5/6 y 9/10
    6. 7/8 y 7/9
  4. Reduce a común denominador:
    1. 3/5, 7/10 y 4/15
    2. 7/4, 6/16 y 3/2
    3. 2/9, 3/4 y 5/12
    4. 7/14, 2/21 y 5/6

5. Suma y diferencia de fracciones

Para sumar o restar fracciones con distinto denominador debemos reducirlas primero a común denominador y después operar los numeradores.

Importante: no se suman ni se restan directamente los denominadores.
Ver ejemplo · Suma y resta de fracciones

Calculamos 2 − 3/4 + 5/6.

Paso 1. El mcm de 4 y 6 es 12.

Paso 2. Escribimos todos los términos con denominador 12:

2 = 24/12
3/4 = 9/12
5/6 = 10/12

Paso 3. Operamos los numeradores:

24/12 − 9/12 + 10/12 = (24 − 9 + 10)/12 = 25/12.

Resultado: 25/12. Es una fracción irreducible.

Ver ejemplo adicional · Suma de tres fracciones

Calculamos 2/3 + 1/4 − 1/6.

Paso 1. Calculamos mcm(3,4,6)=12.

Paso 2. Reducimos a denominador común:

2/3 = 8/12
1/4 = 3/12
1/6 = 2/12

Paso 3. Operamos:

8/12 + 3/12 − 2/12 = 9/12.

Paso 4. Simplificamos dividiendo numerador y denominador entre 3:

9/12 = 3/4.

Resultado: 3/4.

▶ Ver vídeo · Suma y resta de fracciones
Ejercicios propuestos II · Suma y diferencia de fracciones
  1. Realiza las siguientes operaciones:
    1. 2/3 + 10/4 − 1/6
    2. 4/9 − 1/4 + 5/18
    3. 4/15 − 1/5 + 7/10
    4. 17/12 − 1/18 − 2/9
    5. 7/15 − 3/12 + 1/10
    6. 2/3 + 8/9 − 5/6
  2. Calcula:
    1. 2 + 3/4
    2. 17/5 − 2
    3. 4/5 + 1
    4. 3 − 5/2
    5. 3/7 + 2
    6. 4 − 5/6
  3. Resuelve las siguientes operaciones:
    1. 5 + 3/8
    2. 4/5 + 1 − 7/10
    3. 7/2 − 2
    4. 5/12 − 1/18 + 2
  4. Calcula y simplifica el resultado:
    1. 2/3 + 1 − 1/5 + 7/15
    2. 7/9 − 3/4 + 1 − 2/36
    3. 5/2 − 1 + 3/8 + 7/4 − 1/16
    4. 3/5 + 2 − 7/25 + 4/5 − 3/10
  5. Estela se ha comido 2/9 de una tarta y Lucas 1/6.
    1. ¿Qué parte se han comido entre los dos?
    2. ¿Qué fracción ha sobrado?
  6. Marina ha comenzado a leer un libro. Si leyó ayer 1/6 y hoy 1/4:
    1. ¿Qué fracción del libro ha leído?
    2. ¿Qué fracción le queda?

6. Producto de fracciones

Para multiplicar dos fracciones multiplicamos los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

(a/b) · (c/d) = (a · c)/(b · d)
Ver ejemplo · Producto de fracciones

Calculamos 2/3 · (−4/5).

Paso 1. Multiplicamos numeradores: 2 · (−4) = −8.

Paso 2. Multiplicamos denominadores: 3 · 5 = 15.

Paso 3. Formamos la fracción: −8/15.

8 y 15 no tienen divisores comunes distintos de 1, por lo que no se puede simplificar.

Resultado: −8/15.

7. Cociente de fracciones

Para dividir dos fracciones multiplicamos la primera por la inversa de la segunda.

(a/b) : (c/d) = (a · d)/(b · c)
Ver ejemplo · Cociente de fracciones

Calculamos −4/3 : 5/7.

Paso 1. Conservamos la primera fracción: −4/3.

Paso 2. Invertimos la segunda fracción: 5/7 pasa a ser 7/5.

Paso 3. Sustituimos la división por una multiplicación:

−4/3 · 7/5 = (−4 · 7)/(3 · 5) = −28/15.

28 y 15 no tienen factores comunes, así que la fracción ya es irreducible.

Resultado: −28/15.

▶ Ver vídeo · Cociente de fracciones

8. Operaciones combinadas con fracciones

Debemos respetar la jerarquía de las operaciones:

  1. Paréntesis.
  2. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
  3. Sumas y restas, de izquierda a derecha.
Ver ejemplo · Operación combinada paso a paso

Calculamos 2 + 3/4 : (5/6 − 5/8) − 3/5 · 7/6.

1. Resolvemos el paréntesis.

5/6 − 5/8 = 20/24 − 15/24 = 5/24.

2. Hacemos la división y la multiplicación.

3/4 : 5/24 = 3/4 · 24/5 = 72/20 = 18/5.

3/5 · 7/6 = 21/30 = 7/10.

3. Sustituimos en la operación inicial.

2 + 18/5 − 7/10.

4. Reducimos a denominador común 10.

2 = 20/10 y 18/5 = 36/10.

20/10 + 36/10 − 7/10 = 49/10.

Resultado: 49/10.

Ver ejemplo adicional · Operación combinada con paréntesis

Calculamos (3/4 + 1/2) · 2/5 − 1/6.

1. Paréntesis. Reducimos 3/4 y 1/2 a denominador 4:

3/4 + 1/2 = 3/4 + 2/4 = 5/4.

2. Multiplicación.

5/4 · 2/5 = 10/20 = 1/2.

3. Resta. El mcm de 2 y 6 es 6:

1/2 − 1/6 = 3/6 − 1/6 = 2/6.

4. Simplificamos.

2/6 = 1/3.

Resultado: 1/3.

▶ Ver vídeo · Operaciones combinadas I
▶ Ver vídeo · Operaciones combinadas II
▶ Ver vídeo · Operaciones combinadas III
▶ Ver vídeo · Operaciones combinadas IV
Ejercicios propuestos III · Producto, cociente y operaciones combinadas

1. Realiza las siguientes operaciones y simplifica

  1. 6 · 5/8
  2. 2/3 · 5
  3. 4/18 · 9
  4. 5 : 10/3
  5. 6 : 9/3
  6. 4/2 : 2
  7. 6/10 · 2/3
  8. 9/15 · 3/4
  9. 4/3 · 9/5
  10. 6/10 : 2/5
  11. 5/3 : 10/4
  12. 9/2 : 3/8
  13. 4/5 · 3/4 · 5/6
  14. 1/3 · 9/5 · 10
  15. 3/5 : 6/7 : 2/10
  16. 4/5 : 8 : 2/3
  17. 3 : 15/2 : 9/5
  18. 3 : 6/5 : 2

2. Calcula y expresa el resultado como fracción irreducible

  1. 2/3 + 5/3 · 7/2
  2. 2/3 · 5/3 + 7/2
  3. 6/4 − 2 · 3/5
  4. 7/3 · 3 − 5/2
  5. 2/3 + 1/3 : 5/4
  6. 9/5 − 3/5 : 2/3
  7. 1/3 : 2/6 + 5/6
  8. 1/2 : 3/5 − 1/7 · 5/9
  9. 2/3 : 4/18 − 1/2 · 2/7
  10. 1/2 + 2/3 · 1/5 : 1/4
  11. 7/3 + 4/5 : 1/2 · 5/6
  12. 3/5 : 2 + 3 · 1/4
  13. 1/5 : 1/4 + 2 · 1/3
  14. 2/3 · 1/5 − 1/3 : 3
  15. 2 : 1/4 + 1/5 : 3

3. Operaciones combinadas

  1. 3/5 − 1/5 : (4/3 − 1/6)
  2. 2 − 3 : (1 + 1/5) : 2/3
  3. 3 − 2 · 5/3 + (5/6 − 1/2) : 1/3
  4. 5/4 + (3 + 2/3) : 1/2 − 4/3 · 2

4. Aplica la jerarquía de las operaciones

  1. (4/15 − 3/5) : (3/4 − 5/8) + 14 · 1/3
  2. (3 + 4/9) : 5/3 + 2/7 · 7/3
  3. 2 + 3/8 − (5/6 + 7/12) + 1/3 · 1/8

5. Problemas

  1. Marta ha leído 2/3 de una novela de 297 páginas.
    1. ¿Cuántas páginas ha leído?
    2. ¿Cuántas le quedan por leer?
  2. En un cumpleaños se divide una tarta en 12 partes iguales. Ana se come 1/12, Luisa 1/6, Pedro 1/4 y Carlos 1/3.
    1. ¿Qué fracción se han comido entre los cuatro?
    2. ¿Qué fracción de tarta queda?
  3. Un ciclista recorre 5/18 de un trayecto durante la primera hora, 7/25 durante la segunda y 11/45 durante la tercera.
    1. ¿Qué fracción del trayecto ha recorrido?
    2. ¿Qué fracción le queda?
    3. ¿Cuántos kilómetros ha recorrido si el trayecto mide 450 km?
  4. Una finca tiene una superficie de 2.016 m². Los 16/63 están sembrados de trigo y los 35/48 de cebada.
    1. Calcula la fracción de superficie sembrada.
    2. Calcula la fracción sin sembrar.
    3. Calcula los metros cuadrados sembrados y sin sembrar.
  5. En un concurso de dibujo participan 90 personas. 1/18 obtiene una bicicleta, 1/9 obtiene un juego y el resto obtiene un cuento.
    1. ¿Qué fracción obtiene un cuento?
    2. ¿Cuántos participantes obtienen cada premio?

9. Situación de aprendizaje · Organizamos un desayuno saludable

Contexto

La clase va a organizar un desayuno saludable. Los alimentos se comprarán y repartirán en porciones, por lo que necesitaremos utilizar fracciones para calcular cantidades, comparar opciones y evitar desperdicios.

Producto final

Cada grupo elaborará una propuesta de organización del desayuno con los cálculos realizados y una tabla final que muestre la cantidad inicial, la fracción utilizada, la cantidad consumida y la cantidad restante.

Datos

Pan

12 barras iguales.

Se utilizan 2/3 para tostadas.

Fruta

48 piezas.

3/8 son manzanas y 1/4 son peras.

Zumo

30 litros.

Se consume inicialmente 2/5 del total.

Bizcochos

Cada bizcocho se divide en 12 porciones.

Cada alumno recibe 1/12.

Retos

  1. De las 12 barras de pan se utilizan 2/3. ¿Cuántas barras se utilizan y cuántas quedan?
  2. De las 48 piezas de fruta, 3/8 son manzanas y 1/4 son peras. ¿Cuántas piezas hay de cada tipo? ¿Qué fracción corresponde al resto?
  3. Compara 3/8 y 1/4 reduciendo ambas fracciones a común denominador.
  4. De 30 litros de zumo se consumen 2/5. ¿Cuántos litros se consumen y cuántos quedan?
  5. Después se consume 1/3 del zumo que había quedado. ¿Cuántos litros quedan finalmente?
  6. Cada bizcocho tiene 12 porciones. Si participan 30 alumnos y cada uno recibe una porción, ¿cuántos bizcochos completos necesitamos como mínimo? ¿Qué fracción del último bizcocho sobrará?
  7. Construye una tabla indicando:
    • cantidad inicial,
    • fracción utilizada,
    • cantidad utilizada,
    • cantidad restante.
  8. Explica qué operación con fracciones has utilizado en cada reto.

Presentación del producto final

El grupo presentará su propuesta de desayuno mediante una tabla o cartel en el que aparezcan los datos iniciales, los cálculos con fracciones, los resultados y una breve explicación de las decisiones tomadas.

Antes de entregar, comprueba:
  • ¿He simplificado las fracciones cuando era posible?
  • ¿He utilizado correctamente el denominador común?
  • ¿He respetado la jerarquía de las operaciones?
  • ¿Las cantidades obtenidas tienen sentido?
  • ¿He indicado correctamente las unidades?
  • ¿He explicado qué representa cada resultado?

10. Soluciones de los ejercicios propuestos

Cuando hayas terminado los ejercicios, puedes consultar las soluciones para comprobar tus resultados.

✓ Ver soluciones de los ejercicios propuestos

Aquí puedes consultar las soluciones completas de los ejercicios propuestos del tema.

Ver soluciones

11. Exámenes de otros años

Cuando hayas terminado los ejercicios propuestos puedes practicar con exámenes de cursos anteriores. Intenta resolver cada examen antes de consultar su solución.

Examen I · Fracciones
Ver examen

Aquí se incorporará el Examen I.

Ver solución del Examen I

Aquí se incorporará la solución del Examen I.

Examen II · Fracciones
Ver examen

Aquí se incorporará el Examen II.

Ver solución del Examen II

Aquí se incorporará la solución del Examen II.

Examen III · Fracciones
Ver examen

Aquí se incorporará el Examen III.

Ver solución del Examen III

Aquí se incorporará la solución del Examen III.

12. Practica con el tutor socrático

Si te bloqueas en un ejercicio, utiliza el tutor. No está pensado para darte directamente la respuesta, sino para ayudarte a encontrarla mediante preguntas y pistas progresivas.

Abrir el tutor socrático

Para aprovecharlo mejor: indica qué ejercicio estás haciendo, qué pasos has intentado y en qué punto concreto te has bloqueado.

Comprueba que sabes...
  • Reconocer y obtener fracciones equivalentes.
  • Simplificar una fracción hasta obtener la fracción irreducible.
  • Reducir varias fracciones a común denominador.
  • Comparar y ordenar fracciones.
  • Sumar y restar fracciones.
  • Multiplicar y dividir fracciones.
  • Resolver operaciones combinadas respetando la jerarquía.
  • Aplicar las fracciones a situaciones y problemas reales.
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EJERCICIOS SELECTIVIDAD CCSS: ESTADISTICA

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