domingo, 25 de septiembre de 2022

1 ESO: DIVISIBILIDAD

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Tema 2. Divisibilidad

Múltiplos y divisores, criterios de divisibilidad, números primos, factorización, máximo común divisor y mínimo común múltiplo.

1. Relación de divisibilidad

Entre dos números naturales existe una relación de divisibilidad cuando la división del mayor entre el menor es exacta, es decir, cuando su resto es cero.

Si a : b es exacta, entonces a es múltiplo de b y b es divisor de a.
Dos formas de decir lo mismo: «180 es divisible entre 5» y «5 es divisor de 180». En ambos casos, 180 : 5 = 36 y el resto es 0.
Ver ejemplo resuelto

Estudiamos 180 : 5, 153 : 2 y 18 : 6:

  • 180 : 5 = 36. Es exacta: 180 es múltiplo de 5 y 5 es divisor de 180.
  • 153 : 2 = 76 y resto 1. No es exacta: 153 no es múltiplo de 2 y 2 no es divisor de 153.
  • 18 : 6 = 3. Es exacta: 18 es múltiplo de 6 y 6 es divisor de 18.
Comprobación rápida: si puedes escribir a = b · k, siendo k natural, entonces b divide a.

2. Múltiplos y divisores

2.1. Múltiplos de un número

Los múltiplos de un número se obtienen multiplicándolo por los números naturales.

Múltiplos de a: a·0, a·1, a·2, a·3, ...

Los múltiplos de 2 son 0, 2, 4, 6, 8, 10... También se puede incluir 0 porque 2·0=0.

Ver ejemplo: garrafas de aceite
Garrafas de aceite. Si cada garrafa contiene 2 litros, podemos comprar 2, 4, 6, 8, 10... litros. Todas esas cantidades son múltiplos de 2.
  • Todo número es múltiplo de sí mismo.
  • Todo número es múltiplo de 1.
  • Un número tiene infinitos múltiplos.
  • El 0 es múltiplo de todos los números.

2.2. Divisores de un número

Un número es divisor de otro si lo divide exactamente.

Ver ejemplo: grupos de garrafas
Grupos de garrafas. Con 6 garrafas se pueden formar grupos iguales de 1, 2, 3 o 6, porque 6:1, 6:2, 6:3 y 6:6 son exactas. Por tanto, D(6)={1,2,3,6}.
  • El 1 y el propio número siempre son divisores.
  • Un número tiene una cantidad finita de divisores.
  • Los divisores se pueden buscar por parejas de factores: 1·24, 2·12, 3·8 y 4·6.

Cómo encontrar todos los divisores

  1. Comienza dividiendo entre 1.
  2. Prueba 2, 3, 4... en orden.
  3. Cada división exacta aporta una pareja: divisor y cociente.
  4. Detente cuando las parejas comiencen a repetirse.
Ver ejemplo: divisores de 24
D(24)={1,2,3,4,6,8,12,24}.
▶ Ver vídeo: divisibilidad y ejercicios

3. Criterios de divisibilidad

Permiten decidir si un número es divisible por otro sin efectuar la división completa.

Divisor Criterio Ejemplo
2Termina en 0, 2, 4, 6 u 8.894
3La suma de sus cifras es múltiplo de 3.894: 8+9+4=21
4Sus dos últimas cifras forman un múltiplo de 4.2316: 16 es múltiplo de 4
5Termina en 0 o 5.3375
9La suma de sus cifras es múltiplo de 9.9954: 9+9+5+4=27
10Termina en 0.4520
11La diferencia entre las sumas alternas de cifras es 0 o múltiplo de 11.3454: (3+5)-(4+4)=0
Ver ejemplo de criterios de divisibilidad
Ejemplo: 3375 no es divisible por 2, sí por 3 porque 3+3+7+5=18, y sí por 5 porque termina en 5.
Error frecuente: que un número termine en cifra impar no permite decidir si es divisible por 3. Para el 3 hay que sumar todas sus cifras.
▶ Ver vídeo: criterios de divisibilidad

4. Números primos, compuestos y factorización

4.1. Primos y compuestos

Un número primo tiene exactamente dos divisores: 1 y él mismo. Un número compuesto tiene más de dos divisores.

Primeros números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
El 1 no es primo ni compuesto. Solo tiene un divisor. El 2 es el único número primo par.

4.2. Descomposición en factores primos

Factorizar un número consiste en escribirlo como producto de números primos. La factorización es única, salvo el orden de los factores.

  1. Escribe el número a la izquierda de una raya vertical.
  2. Divídelo entre el menor primo posible.
  3. Repite con cada cociente hasta llegar a 1.
  4. Escribe los factores repetidos mediante potencias.
Ver ejemplos de factorización
24
24=2·12=2·2·6=2·2·2·3=23·3
60
60=2·30=2·2·15=22·3·5
180
180=2·90=2·2·45=22·32·5
Comprueba: multiplica los factores. 22·32·5=4·9·5=180.
▶ Ver vídeo: números primos y factorización

5. Máximo común divisor

El máximo común divisor de varios números es el mayor número que divide exactamente a todos ellos.

Idea clave: el MCD aparece en problemas de repartir, cortar o agrupar en partes iguales lo más grandes posible, sin que sobre nada.

Cálculo mediante factorización

  1. Factoriza todos los números.
  2. Elige solo los factores comunes.
  3. Toma cada factor común con el menor exponente.
  4. Multiplica los factores elegidos.
Ver ejemplo: MCD(24,60)
24=23·3
60=22·3·5

MCD(24,60)=22·3=12
Ver ejemplo: MCD(24,180)
24=23·3
180=22·32·5

MCD(24,180)=22·3=12
Comprobación: el MCD nunca puede ser mayor que el menor de los números.
▶ Ver vídeo: máximo común divisor

6. Mínimo común múltiplo

El mínimo común múltiplo de varios números es el menor número positivo que es múltiplo de todos ellos.

Idea clave: el MCM aparece cuando varios sucesos periódicos deben coincidir de nuevo: autobuses, turnos, luces o visitas.

Cálculo mediante factorización

  1. Factoriza los números.
  2. Elige todos los factores, comunes y no comunes.
  3. Toma cada factor con el mayor exponente.
  4. Multiplica los factores elegidos.
Ver ejemplo: mcm(24,60)
24=23·3
60=22·3·5

mcm(24,60)=23·3·5=120
Ver ejemplo: mcm(24,180)
24=23·3
180=22·32·5

mcm(24,180)=23·32·5=360
Comprobación: el mcm debe ser múltiplo de todos los números y nunca puede ser menor que el mayor de ellos.
▶ Ver vídeo: mínimo común múltiplo

7. Ejercicios propuestos

Importante: escribe el procedimiento completo. No basta con indicar únicamente el resultado.
Ejercicios propuestos I · Múltiplos y divisores
  1. Comprueba si existe relación de divisibilidad: a) 150 y 25; b) 672 y 32; c) 252 y 12; d) 3458 y 45.
  2. Escribe los cinco primeros múltiplos de: a) 4; b) 6; c) 12; d) 21.
  3. Completa: a) M(5)={5,10,__,20,25,__,__,40,...}; b) M(7)={7,__,21,__,__,__,49,__,...}; c) M(9)={9,__,27,__,__,__,__,72,...}; d) M(11)={__,__,__,44,__,__,77,__,...}.
  4. Escribe un número que sea: a) múltiplo de 2 y 3; b) de 5 y 2; c) de 6 y 9; d) de 4 y 8.
  5. Halla un número mayor que 20 y menor que 30 que sea: a) múltiplo de 2 y 3; b) múltiplo de 3 y 4.
  6. Completa: a) D(6)={1,__,__,6}; b) D(10)={__,__,5,__}; c) D(18)={1,__,__,__,__,18}; d) D(24)={__,__,__,4,__,__,__,__}.
  7. Completa con «múltiplo» o «divisor»: a) 2 es ___ de 8; b) 35 es ___ de 7; c) 6 es ___ de 24; d) 24 es ___ de 6.
  8. Guillermo quiere guardar 40 canicas en bolsas con la misma cantidad. ¿De cuántas maneras puede hacerlo?
  9. Cada sobre contiene 6 cromos: a) ¿puede Javier tener 106 cromos? b) si no, ¿cuáles son las cantidades posibles más cercanas?
Ejercicios propuestos II · Criterios de divisibilidad
  1. Indica verdadero o falso: a) 2 divide 894; b) 3 divide 894; c) 5 divide 894; d) 2 divide 3375; e) 3 divide 3375; f) 5 divide 3375.
  2. Indica si 4520, 3564, 9954, 12036 y 49556 son divisibles por 2, 3 y 5.
  3. Completa 45_2 para que sea: a) divisible por 3; b) divisible por 11.
  4. Completa: a) 45_ divisible por 2; b) 34_8 divisible por 3; c) 450_ divisible por 5; d) 349_5_ divisible por 11.
  5. Halla la cifra: a) 436_ divisible por 2 y 5; b) 3_56 divisible por 3 y 11; c) 450_ divisible por 2 y 3.
Ejercicios propuestos III · Factorización
  1. Factoriza: 36, 42, 350, 245, 270 y 112.
  2. Descompón en factores primos: 441, 210, 209, 675, 735, 374, 686, 784 y 207.
  3. Descompón previamente en productos más sencillos y después factoriza: 120, 990, 180, 2500, 8100, 12100 y 6400.
Ejercicios propuestos IV · Máximo común divisor
  1. Calcula el MCD: a) 24 y 54; b) 84 y 108; c) 50 y 100; d) 8 y 16; e) 16 y 24; f) 10 y 25.
  2. Calcula el MCD: a) 160 y 144; b) 108 y 126; c) 231 y 286; d) 135 y 252; e) 294 y 245; f) 598 y 715.
  3. Calcula: a) MCD(60,196,220); b) MCD(100,250,150); c) MCD(25,50,75); d) MCD(36,75,80).
  4. Dos cintas miden 60 m y 80 m. Indica tres longitudes posibles para cortarlas en trozos iguales sin desperdicio.
  5. Tres cajas contienen 16 kg, 20 kg y 36 kg de naranjas. Se preparan bolsas de igual peso y el mayor tamaño posible: a) peso de cada bolsa; b) número total de bolsas.
Ejercicios propuestos V · Mínimo común múltiplo
  1. Calcula el mcm: a) 18 y 75; b) 12 y 45; c) 9 y 27; d) 28 y 63; e) 10 y 15; f) 14 y 16.
  2. Calcula el mcm: a) 324 y 144; b) 90 y 108; c) 126 y 175; d) 405 y 320; e) 715 y 728; f) 272 y 306.
  3. Calcula: a) mcm(140,175,196); b) mcm(450,300,432); c) mcm(243,300,176); d) mcm(195,220,306).
  4. Alan va a una pizzería cada 20 días y Pedro cada 38. Si hoy coinciden, ¿cuándo volverán a encontrarse?
  5. Tres líneas de autobús pasan cada 18, 15 y 12 minutos. Si salen juntas ahora, ¿cuándo volverán a coincidir?

Vídeos de problemas y repaso

▶ Ver vídeo: ejercicios de MCD y mcm
▶ Ver vídeo: problema tipo 1
▶ Ver vídeo: problema tipo 2

8. Situación de aprendizaje: campaña solidaria

Reto: preparar lotes de alimentos iguales para una campaña y organizar los turnos de recogida.

Producto final: una propuesta de reparto con cálculos justificados, tabla de lotes y horario de coincidencia de los equipos.

Datos

  • Se han reunido 72 zumos, 96 piezas de fruta y 120 bocadillos.
  • Todos los lotes deben ser idénticos y no puede sobrar ningún producto.
  • Se quiere preparar el mayor número posible de lotes.
  • Tres equipos revisan el punto de recogida cada 12, 18 y 30 minutos.
  • La actividad comienza a las 9:00.

Fases del trabajo

  1. Comprueba mediante criterios de divisibilidad qué divisores comparten 72, 96 y 120.
  2. Factoriza las tres cantidades.
  3. Calcula el número máximo de lotes mediante el MCD.
  4. Calcula cuántos zumos, frutas y bocadillos tendrá cada lote.
  5. Factoriza 12, 18 y 30 y calcula mediante el mcm cada cuánto coinciden los equipos.
  6. Indica la primera hora posterior a las 9:00 en que volverán a coincidir.
  7. Si llegan 24 zumos más, analiza si se puede mantener el número de lotes y explica cómo cambia cada lote.

Presentación y evaluación

Entrega una tabla con los datos, las factorizaciones, el MCD, el mcm, la composición de cada lote y el horario. Se valorarán la corrección de los cálculos, la explicación, el uso de unidades y la comprobación de los resultados.

Autoevaluación: ¿he comprobado que no sobra nada?, ¿el número de lotes divide las tres cantidades?, ¿el tiempo obtenido es múltiplo de 12, 18 y 30?, ¿he explicado el significado de cada resultado?

9. Practica con el tutor socrático

Utiliza el tutor si te bloqueas. Te hará preguntas y te ofrecerá pistas progresivas, pero no sustituirá tu razonamiento ni te dará directamente la solución.

Abrir el tutor socrático

Escribe así tu consulta: «Estoy resolviendo el ejercicio..., he intentado..., y me bloqueo cuando...». No envíes únicamente una fotografía sin explicar tu intento.

Comprueba que sabes...
  • Reconocer relaciones de divisibilidad.
  • Calcular múltiplos y todos los divisores.
  • Aplicar criterios de divisibilidad.
  • Distinguir primos y compuestos y factorizar.
  • Calcular e interpretar MCD y mcm.
  • Elegir entre MCD y mcm en problemas reales.
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