3 ESO: FRACCIONES, POTENCIAS Y RAÍCES

Repaso de Fracciones, Potencias y Raíces

Matemáticas · 3.º ESO

Índice

1. Fracciones
   1. Suma y resta
   2. Producto y división
   3. Operaciones combinadas
2. Potencias y propiedades
3. Raíces y propiedades
   1. De raíz a potencia
   2. Extracción de factores
4. Ejercicios propuestos I
5. Ejercicios propuestos II
6. Soluciones I
7. Soluciones II
8. Fútbol matemático
9. Conquista matemática
10. Tutor socrático

1. Fracciones

Una fracción representa el cociente entre dos números enteros:

ab, con b ≠ 0

Antes de operar conviene simplificar las fracciones siempre que sea posible. Para obtener la fracción irreducible se divide numerador y denominador entre su máximo común divisor.

Ejemplo. Simplificación de una fracción

4260 = 42 : 660 : 6 = 710

1.1. Suma y resta de fracciones

Mismo denominador: se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador.

am ± bm = a ± bm

Distinto denominador: se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, se obtienen fracciones equivalentes y después se operan los numeradores.

Ejemplo. Suma con igual denominador

37 + 27 = 57

Ejemplo. Resta con distinto denominador

El m.c.m. de 4 y 6 es 12.

34 - 56 = 912 - 1012 = -112

1.2. Producto y división de fracciones

Producto: se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Es recomendable simplificar en cruz antes de multiplicar.

ab · cd = a · cb · d

Ejemplo. Producto de fracciones

-23 · 910 = -1830 = -35

División: se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.

ab : cd = ab · dc, con c ≠ 0

Ejemplo. División de fracciones

56 : (-109) = 56 · (-910) = -4560 = -34

1.3. Operaciones combinadas con fracciones

Se respeta este orden:

1. Paréntesis, corchetes y llaves, desde dentro hacia fuera.
2. Potencias y raíces.
3. Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
4. Sumas y restas, de izquierda a derecha.

Ejemplo resuelto paso a paso

12 - [34 : (56 - 13)]

Primero resolvemos el paréntesis:

56 - 13 = 56 - 26 = 12

Después efectuamos la división:

34 : 12 = 34 · 21 = 32

Finalmente:

12 - 32 = -1

2. Potencias

En aⁿ, a es la base y n es el exponente. Si la base es negativa, los paréntesis son esenciales: (-2)⁴ = 16, mientras que -2⁴ = -16.

Propiedad	Regla	Ejemplo
Producto de igual base	am · an = am+n	23 · 25 = 28
Cociente de igual base	am : an = am-n	76 : 72 = 74
Potencia de una potencia	(am)n = am·n	(32)4 = 38
Potencia de un producto	(a·b)n = an·bn	(2·5)3 = 23·53
Potencia de un cociente	(a/b)n = an/bn	(2/3)2 = 4/9
Exponente cero	a0 = 1	(-8)0 = 1
Exponente negativo	a-n = 1/an	5-2 = 1/25
Exponente uno	a1 = a	121 = 12

Ejemplo. Expresa como una sola potencia

(2³)⁴ · 2^-5 : 2² = 2¹² · 2^-5 : 2² = 2^12-5-2 = 2⁵ = 32

Ejemplo. Bases diferentes con el mismo exponente

6⁴ : 3⁴ = (6 : 3)⁴ = 2⁴ = 16

3. Raíces

La raíz n-ésima de un número a es el número que, elevado a n, da a:

ⁿ√a = b  ⇔  bⁿ = a

Si el índice es par, el radicando debe ser no negativo para trabajar con números reales y se toma la raíz no negativa. Si el índice es impar, el radicando puede ser positivo o negativo.

Propiedad	Regla	Ejemplo
Producto con igual índice	n√a · n√b = n√ab	√2 · √8 = √16 = 4
Cociente con igual índice	n√a : n√b = n√a/b	√48 : √3 = √16 = 4
Raíz de una raíz	m√n√a = m·n√a	√(³√64) = ⁶√64 = 2
Potencia de una raíz	(n√a)m = n√am	(³√2)4 = ³√16

Atención: en general, √(a+b) ≠ √a + √b y √(a-b) ≠ √a - √b.

3.1. Cómo pasar raíces a potencias

ⁿ√a^m = a^m/n

Ejemplo. De radical a potencia

³√x⁵ = x^5/3

Ejemplo. De potencia fraccionaria a radical

16^3/4 = (⁴√16)³ = 2³ = 8

3.2. Cómo extraer factores de una raíz de cualquier índice

Se descompone el radicando en factores y se agrupan exponentes en múltiplos del índice. Si m = n·q + r, entonces:

ⁿ√a^m = a^q · ⁿ√a^r

En los ejemplos con letras suponemos que las variables son positivas.

Ejemplo. Raíz cuadrada

√180 = √(2² · 3² · 5) = 2 · 3√5 = 6√5

Ejemplo. Raíz cúbica

³√432 = ³√6³ · 2 = 6³√2

Ejemplo. Raíz de índice cinco con letras

⁵√x¹² = ⁵√x¹⁰ · x² = x²⁵√x²

Ejemplo. Operación con radicales semejantes

√50 + √18 - 4√2 = 5√2 + 3√2 - 4√2 = 4√2

4. Ejercicios propuestos

Ejercicios propuestos I: Repaso de fracciones e intervalos

Ficha de repaso de fracciones e intervalos.

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Ejercicios propuestos II: Potencias y raíces

Ejercicios de potencias y raíces.

Abrir ejercicios de potencias y raíces

5. Soluciones

Soluciones de los ejercicios propuestos I

Ver soluciones I

Soluciones de los ejercicios propuestos II

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