1 BACHILLERATO: VECTORES Y GEOMETRÍA ANALÍTICA

Tema 6 · Geometría analítica

Vectores, operaciones, producto escalar, ecuaciones de la recta, posiciones relativas y distancias.

Índice

1. Vectores en el plano
2. Operaciones con vectores
3. Producto escalar
4. Vector de posición y vector director
5. Ecuaciones de una recta
6. Posición relativa de dos rectas
7. Cálculo de distancias
8. Ejercicios propuestos
9. Ejercicios extra

1. Vectores en el plano

1.1. Vector fijo

Un vector fijo AB es un segmento orientado cuyo origen es el punto A y cuyo extremo es el punto B.

Un vector fijo queda caracterizado por:

• Módulo: longitud del segmento que representa el vector.
• Dirección: dirección de la recta que contiene al vector y de todas sus paralelas.
• Sentido: orientación desde el origen A hasta el extremo B.

1.2. Coordenadas de un vector

Sean los puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂). Las coordenadas del vector que va desde A hasta B se obtienen restando las coordenadas del origen a las del extremo:

AB=(x₂−x₁, y₂−y₁)

Su módulo es:

|AB|=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

1.3. Vector libre

Dos vectores son equipolentes cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

Todos los vectores equipolentes representan el mismo vector libre.

Si:

v=(a,b)

su módulo es:

|v|=√(a²+b²)

Ejemplos · Vectores

Ejemplo 1 · Coordenadas y módulo

Sean A(1,−2) y B(5,4).

AB=(5−1,4−(−2))=(4,6)

|AB|=√(4²+6²)=√52=2√13

AB=(4,6) y |AB|=2√13

Ejemplo 2 · Calcular el extremo

Sea A(2,−1) el origen y AB=(4,3).

(x−2,y+1)=(4,3)

x−2=4    →    x=6
y+1=3    →    y=2

B=(6,2)

2. Operaciones con vectores

2.1. Producto de un número por un vector

Si v=(a,b) y k es un número real:

k·v=(ka,kb)

• Si k>0, conserva el sentido.
• Si k<0, cambia el sentido.
• Si k=0, se obtiene el vector nulo.

2.2. Suma y resta

Si u=(a,b) y v=(c,d):

u+v=(a+c,b+d)

u−v=(a−c,b−d)

2.3. Punto medio

M=((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)

2.4. Combinación lineal

a·u+b·v

Ejemplos · Operaciones con vectores

Ejemplo 1 · Operaciones con dos vectores

Dados:

u=(2,−3),   v=(4,1)

1. Calculamos 3u.

3u=3(2,−3)=(6,−9)

3u=(6,−9)

2. Calculamos u+v.

(2,−3)+(4,1)=(2+4,−3+1)=(6,−2)

u+v=(6,−2)

3. Calculamos 2u−v.

2u=2(2,−3)=(4,−6)

(4,−6)−(4,1)=(0,−7)

2u−v=(0,−7)

Ejemplo 2 · Vector, módulo y punto medio

Sean A(−2,3) y B(6,−1).

1. Vector AB

AB=(6−(−2),−1−3)=(8,−4)

2. Módulo

|AB|=√(8²+(−4)²)=√80=4√5

3. Punto medio

M=((−2+6)/2,(3−1)/2)=(2,1)

M=(2,1)

Ejercicios propuestos I · Vectores

1. Un vector fijo tiene su origen en el punto A(1,−4) y sus coordenadas son (3,2). Calcula las coordenadas de su extremo y su módulo.
2. Tres vértices consecutivos de un rectángulo son los puntos de coordenadas (1,1), (6,6), (3,9). Calcula el que falta.

3. Producto escalar

3.1. Definición del producto escalar

Sean u y v dos vectores y α el ángulo que forman. Su producto escalar es:

u·v=|u|·|v|·cos(α)

3.2. Producto escalar mediante coordenadas

Si:

u=(a₁,b₁)
v=(a₂,b₂)

entonces:

u·v=a₁a₂+b₁b₂

3.3. Perpendicularidad

u perpendicular a v ⇔ u·v=0

Ejemplos · Perpendicularidad

Ejemplo 1 · Comprobar perpendicularidad

u=(3,4),   v=(−4,3)

u·v=3(−4)+4·3=−12+12=0

Los vectores son perpendiculares.

Ejemplo 2 · Encontrar un vector perpendicular

Dado u=(4,3), buscamos v=(a,b).

4a+3b=0

Tomamos a=−3:

4(−3)+3b=0
−12+3b=0
b=4

v=(−3,4)

3.4. Vector unitario

v_u=(a/|v|,b/|v|)

3.5. Ángulo entre vectores

cos(α)=(u·v)/(|u|·|v|)

Ejemplos · Producto escalar

Ejemplo 1 · Vector unitario

v=(2,3)

|v|=√(2²+3²)=√13

v_u=(2/√13,3/√13)

Ejemplo 2 · Producto escalar y ángulo

u=(4,3),   v=(−8,6)

u·v=4(−8)+3·6=−14

|u|=5,   |v|=10

cos(α)=−14/(5·10)=−0,28

α≈106,26°

Ejercicios propuestos II · Producto escalar

1. Dados los vectores v=(1,5); w=(−3,4) y u=(5,12). Calcula:
   1. Sus módulos.
   2. Los ángulos que forman dos a dos.
   3. v+w+u analítica y gráficamente.
   4. Un vector normal a w.
   5. 3v.
   6. Un vector paralelo a v.
2. Calcula el producto escalar:
   1. |v|=4; |w|=6; ángulo=45°.
   2. |v|=3; w=(2,√5); ángulo=60°.
   3. v=(3,−4); w=(−12,−5).
   4. v=(−3,4); w=(15,−20).
3. Sean los vectores u=(3,x) y v=(y,5). Calcula x e y de manera que ambos sean perpendiculares y |v|=13.
4. Dados v=(1,5); w=(3,−1). Halla un vector u que verifique u·v=1 y sea perpendicular a w.
5. Dos vértices consecutivos de un cuadrado son (3,0) y (5,4). Halla:
   1. Las coordenadas de los otros vértices.
   2. Los vectores que forman los puntos medios de las caras opuestas.
   3. El producto escalar de los vectores anteriores.

4. Vector de posición y vector director

4.1. Vector de posición

El vector de posición de P(a,b) tiene origen en O(0,0) y extremo en P.

OP=(a,b)

4.2. Vector director

Un vector director de una recta es cualquier vector no nulo que tenga la misma dirección que dicha recta.

Si conocemos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂):

AB=(x₂−x₁,y₂−y₁)

El vector AB puede utilizarse como vector director de la recta que pasa por A y B.

5. Ecuaciones de una recta

Idea fundamental

Sea un punto de la recta:

P₀(x₀,y₀)

y un vector director:

v=(a,b)

Con estos dos datos podemos construir las distintas ecuaciones de la recta.

5.1. Ecuación vectorial

(x,y)=(x₀,y₀)+λ(a,b)

5.2. Ecuaciones paramétricas

De la vectorial:

(x,y)=(x₀,y₀)+λ(a,b)

obtenemos:

x=x₀+λa
y=y₀+λb

Vídeo · Ecuación paramétrica

5.3. Ecuación continua

(x−x₀)/a=(y−y₀)/b

Vídeo · Ecuación continua

5.4. Ecuación general o implícita

b(x−x₀)=a(y−y₀)

Ax+By+C=0

En esta forma podemos tomar:

v=(B,−A) como vector director

n=(A,B) como vector normal

Vídeo · Ecuación implícita o general

5.5. Ecuación punto-pendiente

Si v=(a,b), con a distinto de cero:

m=b/a

y−y₀=m(x−x₀)

5.6. Ecuación explícita

y=mx+n

Si partimos de Ax+By+C=0:

y=−(A/B)x−C/B

m=−A/B    y    n=−C/B

Vídeo · Ecuaciones punto-pendiente y explícita

5.7. Cómo pasar de una ecuación a otra

Dato inicial:

P₀(x₀,y₀),   v=(a,b)

Vectorial:

(x,y)=(x₀,y₀)+λ(a,b)

Paramétricas:

x=x₀+λa
y=y₀+λb

Continua:

(x−x₀)/a=(y−y₀)/b

General:

Ax+By+C=0

Explícita:

y=mx+n

Punto-pendiente:

y−y₀=m(x−x₀)

Ejemplo completo 1 · Dado un punto y un vector director

Dados P(2,5) y v=(1,−3):

Vectorial

(x,y)=(2,5)+λ(1,−3)

Paramétricas

x=2+λ
y=5−3λ

Continua

x−2=(y−5)/(−3)

General

−3(x−2)=y−5

3x+y−11=0

Explícita

y=−3x+11

Punto-pendiente

y−5=−3(x−2)

Ejemplo completo 2 · Dados dos puntos

Sean A(1,2) y B(−2,8).

Primero calculamos el vector director:

AB=(−2−1,8−2)=(−3,6)

Utilizamos A(1,2) como punto.

Vectorial

(x,y)=(1,2)+λ(−3,6)

Paramétricas

x=1−3λ
y=2+6λ

Continua

(x−1)/(−3)=(y−2)/6

General

2x+y−4=0

Explícita

y=−2x+4

Punto-pendiente

y−2=−2(x−1)

Vídeo 1 · Ecuaciones de la recta

Vídeo 2 · Ecuaciones de la recta

Vídeo 3 · Ecuaciones de la recta

Vídeo 4 · Ecuaciones de la recta

Vídeo 5 · Ecuaciones de la recta

Vídeo 6 · Ecuaciones de la recta

6. Posición relativa de dos rectas

Dos rectas del plano pueden ser secantes, paralelas o coincidentes.

6.1. Estudio mediante los coeficientes A, B y C

Sean las rectas:

r:A₁x+B₁y+C₁=0

s:A₂x+B₂y+C₂=0

Comparamos sus coeficientes.

Rectas secantes

A₁/A₂ ≠ B₁/B₂

Rectas paralelas

A₁/A₂ = B₁/B₂ ≠ C₁/C₂

Rectas coincidentes

A₁/A₂ = B₁/B₂ = C₁/C₂

6.2. Estudio mediante los vectores directores

Si una recta está escrita:

Ax+By+C=0

podemos tomar como vector director:

v=(B,−A)

Por tanto:

r:A₁x+B₁y+C₁=0
v_r=(B₁,−A₁)

s:A₂x+B₂y+C₂=0
v_s=(B₂,−A₂)

Si los vectores directores no son proporcionales, las rectas son secantes.

Si son proporcionales, las rectas tienen la misma dirección y serán paralelas o coincidentes.

Para comprobar perpendicularidad:

v_r·v_s=0

Ejemplos 1 y 2 · Mediante coeficientes

Ejemplo 1 · Paralelas

r:2x+5y−4=0
s:4x+10y+3=0

2/4=5/10=1/2

−4/3 ≠ 1/2

Las rectas son paralelas.

Ejemplo 2 · Coincidentes

r:x−2y+3=0
s:−2x+4y−6=0

1/(−2)=(−2)/4=3/(−6)=−1/2

Las rectas son coincidentes.

Ejemplos 3 y 4 · Mediante vectores directores

Ejemplo 3 · Secantes

r:4x+y−6=0
s:x−3y−8=0

v_r=(1,−4)
v_s=(−3,−1)

Los vectores no son proporcionales.

Las rectas son secantes.

Ejemplo 4 · Paralelas

r:2x+5y−4=0
s:4x+10y+3=0

v_r=(5,−2)
v_s=(10,−4)

v_s=2v_r

Tienen la misma dirección.

Como las ecuaciones no representan la misma recta, son paralelas.

Vídeo 1 · Posición relativa mediante vectores directores

Vídeo 2 · Posición relativa mediante vectores directores

Vídeo 3 · Posición relativa mediante vectores directores

Vídeo · Posición relativa de dos rectas

7. Cálculo de distancias

7.1. Distancia entre dos puntos

d(A,B)=√[(x₂−x₁)²+(y₂−y₁)²]

Ejemplo · Distancia entre dos puntos

Sean P(−6,−3) y Q(9,5).

d(P,Q)=√[(9+6)²+(5+3)²]

d(P,Q)=√(15²+8²)=√289

d(P,Q)=17

7.2. Distancia de un punto a una recta

Sea P(a,b) y r:Ax+By+C=0.

d(P,r)=|Aa+Bb+C|/√(A²+B²)

Ejemplo · Distancia de un punto a una recta

P(−6,−3), r:3x−4y+9=0.

d(P,r)=|3(−6)−4(−3)+9|/√(3²+(−4)²)

d(P,r)=3/5

d(P,r)=3/5

8. Ejercicios propuestos · Geometría analítica

Ejercicios propuestos III · Ecuaciones de la recta, posiciones y distancias

1. Calcula el valor de m para que P(1,4), Q(5,−2) y R(6,m) estén alineados. Calcula también la recta que los contiene.
2. Expresa de todas las formas posibles la ecuación de la recta que pasa por A(−2,1) y B(5,4). Una vez calculadas las ecuaciones averigua las coordenadas de un punto en cada una de las ecuaciones obtenidas.
3. Obtener la ecuación implícita de:
   x=3+2λ
   y=4−3λ
4. Obtén las ecuaciones paramétricas de r:y=5x−4.
5. Obtén las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita de x/3=y/0.
6. Obtén las ecuaciones paramétricas, continua, implícita y explícita:
   1. A(−1,−1), B(3,3).
   2. A(0,4), B(6,0).
   3. A(3,5), B(−1,5).
   4. A(3,5), B(3,2).
7. Obtén las ecuaciones implícita, paramétricas y continua de r:y=2x+3.
8. Dada r:2x−3y+6=0:
   1. Halla dos puntos P y Q pertenecientes a r.
   2. Comprueba que PQ es paralelo a un vector director.
   3. Comprueba que PQ es perpendicular a un vector normal.
   4. Obtén una ecuación paramétrica.
   5. Obtén la ecuación explícita y comprueba la relación de la pendiente con un vector director.
9. Representa:
   1. x=5.
   2. x=5, y=λ.
   3. x=5, y=2.
   4. y=2.
10. Dada:
    x=3+5λ
    y=7−2λ
    1. Calcula una recta paralela que pase por P(6,4).
    2. Calcula una recta perpendicular que pase por P(6,4).
11. Dada r:3x−7y+10=0:
    1. Obtén una ecuación paramétrica de la perpendicular que pasa por P(2,−4).
    2. Obtén la ecuación explícita de la paralela que pasa por P(0,0).
12. Dada:
    x=2+5λ
    y=−1−2λ
    1. Obtén la ecuación continua de la perpendicular que pasa por P(3,−2).
    2. Obtén la ecuación explícita de la paralela que pasa por P(7,4).
    3. Obtén la ecuación implícita de la paralela que pasa por P(7,4).
13. Obtén las ecuaciones paramétricas de las dos rectas que pasan por P(4,−3), una paralela y otra perpendicular a:
    x=2−5λ
    y=4+2λ
14. Dada r:y=−2x+5:
    1. Obtén una ecuación paramétrica de la paralela que pasa por (0,−2).
    2. Obtén las ecuaciones explícitas de la paralela y la perpendicular que pasan por P(0,1).
    3. Obtén la ecuación implícita de la perpendicular que pasa por P(−2,5).
15. Dada:
    x=5−λ
    y=3λ
    1. Obtén la ecuación continua de la perpendicular que pasa por P(5,−3).
    2. Obtén la ecuación implícita de la paralela que pasa por P(0,4).
    3. Obtén la ecuación explícita de la perpendicular que pasa por P(−3,0).
16. Obtén las ecuaciones implícitas de las dos rectas que pasan por P(−3,4), una paralela y otra perpendicular a s:5x−2y+3=0.

9. Ejercicios extra

Ejercicios extra I

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Ejercicios extra II

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Ejercicios extra III

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Ejercicios extra IV

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Ejercicios extra V

Enunciados

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Ejercicios extra VI

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Ejercicios extra VII

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