Monomios, ecuaciones y factorización de polinomios
1. Monomios: partes y operaciones
Un monomio es un producto de un número y potencias de letras con exponentes enteros no negativos.
- Coeficiente: el número que multiplica a las letras, incluyendo su signo.
- Parte literal: las letras con sus exponentes.
- Grado: la suma de los exponentes de todas las letras.
Monomio del ejemplo:
−5x³y²
Coeficiente: −5
Parte literal: x³y²
Grado: 3 + 2 = 5
El exponente de x es 3 y el de y es 2. Por eso sumamos 3 + 2.
Un monomio constante no nulo tiene grado 0. Al monomio cero no se le asigna grado en este tema.
Operaciones con monomios
Suma y resta. Solo podemos reducir monomios semejantes: deben tener exactamente la misma parte literal.
3x²y − 5x²y = (3 − 5)x²y = −2x²y
Producto. Multiplicamos los coeficientes y sumamos los exponentes de cada letra.
(−2x²y) · (3xy³)
= (−2 · 3) · x2+1 · y1+3
= −6x³y⁴
Cociente. Dividimos los coeficientes y restamos los exponentes.
12x⁵y³ : (3x²y)
= (12 : 3) · x5−2 · y3−1
= 4x³y², para x ≠ 0 e y ≠ 0.
Potencia. Elevamos el coeficiente y multiplicamos los exponentes.
(−2x²y)³
= (−2)³ · x2·3 · y1·3
= −8x⁶y³
2. Ecuaciones de primer grado
Para resolverlas, quitamos denominadores, desarrollamos paréntesis, reducimos términos semejantes y despejamos la incógnita. Cada operación debe realizarse en ambos miembros.
Si obtenemos 0 · x = 0, hay infinitas soluciones.
Si obtenemos 0 · x = k, con k distinto de cero, no hay solución.
Ejemplo 1 · Sin paréntesis
Ecuación inicial:
3x + 5 = 2x + 12
Paso 1. Restamos 2x en los dos miembros.
3x + 5 − 2x = 2x + 12 − 2x
Agrupamos las x y cancelamos 2x − 2x:
x + 5 = 12
Paso 2. Restamos 5 en ambos miembros.
x + 5 − 5 = 12 − 5
x = 7
Comprobación:
3 · 7 + 5 = 21 + 5 = 26
2 · 7 + 12 = 14 + 12 = 26
Los dos miembros coinciden: la solución es correcta.
Ejemplo 2 · Sin paréntesis
Ecuación inicial:
7x − 4 = 3x + 16
Paso 1. Restamos 3x en ambos miembros.
7x − 4 − 3x = 3x + 16 − 3x
4x − 4 = 16
Paso 2. Sumamos 4 en ambos miembros.
4x − 4 + 4 = 16 + 4
4x = 20
Paso 3. Dividimos los dos miembros entre 4.
4x : 4 = 20 : 4
x = 5
Comprobación:
7 · 5 − 4 = 35 − 4 = 31
3 · 5 + 16 = 15 + 16 = 31
Ejemplo 3 · Con paréntesis y sin solución
Ecuación inicial:
2(x − 3) − 3(x + 1) = 4 − (x − 2)
Paso 1. Aplicamos la distributiva.
2 · x + 2 · (−3) − 3 · x − 3 · 1 = 4 − x + 2
2x − 6 − 3x − 3 = 4 − x + 2
El signo menos delante de (x − 2) cambia los signos de sus dos términos.
Paso 2. Reducimos términos semejantes.
(2x − 3x) + (−6 − 3) = (4 + 2) − x
−x − 9 = 6 − x
Paso 3. Sumamos x en ambos miembros.
−x − 9 + x = 6 − x + x
−9 = 6
Esta igualdad es falsa. Por tanto, la ecuación no tiene solución.
Ejemplo 4 · Con varios paréntesis
Ecuación inicial:
3(2x − 1) − 2(x + 4) = 5(x − 2) + 7
Paso 1. Desarrollamos los paréntesis.
6x − 3 − 2x − 8 = 5x − 10 + 7
Paso 2. Agrupamos términos semejantes.
(6x − 2x) + (−3 − 8) = 5x + (−10 + 7)
4x − 11 = 5x − 3
Paso 3. Restamos 4x en ambos miembros.
4x − 11 − 4x = 5x − 3 − 4x
−11 = x − 3
Paso 4. Sumamos 3 en ambos miembros.
−11 + 3 = x − 3 + 3
−8 = x
x = −8
Comprobación:
3(2 · (−8) − 1) − 2(−8 + 4)
= 3 · (−17) − 2 · (−4) = −51 + 8 = −43
5(−8 − 2) + 7 = 5 · (−10) + 7 = −43
Ejemplo 5 · Con denominadores
Ecuación inicial:
x : 2 + x : 3 = 5
La división se representa con dos puntos: x : 2 significa x dividido entre 2.
Paso 1. El m.c.m. de 2 y 3 es 6. Multiplicamos todos los términos por 6.
6 · (x : 2) + 6 · (x : 3) = 6 · 5
Paso 2. Simplificamos: 6 : 2 = 3 y 6 : 3 = 2.
3x + 2x = 30
Paso 3. Sumamos los términos con x.
5x = 30
Paso 4. Dividimos entre 5.
x = 30 : 5 = 6
Comprobación:
6 : 2 + 6 : 3 = 3 + 2 = 5
Ejemplo 6 · Denominadores y paréntesis
Ecuación inicial:
(x − 1) : 3 − (x + 2) : 4 = 1
Paso 1. El m.c.m. de 3 y 4 es 12. Multiplicamos toda la ecuación por 12.
12 · [(x − 1) : 3] − 12 · [(x + 2) : 4] = 12 · 1
Paso 2. Simplificamos 12 : 3 = 4 y 12 : 4 = 3.
4(x − 1) − 3(x + 2) = 12
Paso 3. Aplicamos la distributiva.
4x − 4 − 3x − 6 = 12
Paso 4. Reducimos términos semejantes.
x − 10 = 12
Paso 5. Sumamos 10 en ambos miembros.
x − 10 + 10 = 12 + 10
x = 22
Comprobación:
(22 − 1) : 3 − (22 + 2) : 4
= 21 : 3 − 24 : 4 = 7 − 6 = 1
Ejemplo 7 · Solución fraccionaria
Ecuación inicial:
(2x + 1) : 5 + (x − 2) : 2 = 3 : 10
Paso 1. El m.c.m. de 5, 2 y 10 es 10. Multiplicamos todos los términos por 10.
10 · [(2x + 1) : 5] + 10 · [(x − 2) : 2] = 10 · (3 : 10)
Paso 2. Simplificamos los denominadores.
2(2x + 1) + 5(x − 2) = 3
Paso 3. Desarrollamos los paréntesis.
4x + 2 + 5x − 10 = 3
Paso 4. Reducimos términos semejantes.
9x − 8 = 3
Paso 5. Sumamos 8 en ambos miembros.
9x − 8 + 8 = 3 + 8
9x = 11
Paso 6. Dividimos entre 9.
x = 11 : 9 = 11/9
Comprobación:
[2 · (11/9) + 1] : 5 = (31/9) : 5 = 31/45
[(11/9) − 2] : 2 = (−7/9) : 2 = −7/18
31/45 − 7/18 = 62/90 − 35/90 = 27/90 = 3/10
3. Ecuaciones de segundo grado incompletas
La forma general de una ecuación de segundo grado es:
ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0
Es incompleta cuando falta el término con x o el término independiente, o ambos.
Si sacas factor común x, no dividas después entre x: perderías la solución x = 0.
Tipo A · Solo aparece x²
Ejemplo 1 · 4x² = 0
Ecuación inicial: 4x² = 0
Paso 1. Dividimos ambos miembros entre 4.
4x² : 4 = 0 : 4
x² = 0
Paso 2. El único número cuyo cuadrado es cero es cero.
x = 0 (raíz doble).
Comprobación: 4 · 0² = 0.
Ejemplo 2 · −3x² = 0
Ecuación inicial: −3x² = 0
Paso 1. Dividimos ambos miembros entre −3.
−3x² : (−3) = 0 : (−3)
x² = 0
Paso 2. Tomamos la raíz de cero.
x = 0 (raíz doble).
Comprobación: −3 · 0² = 0.
Ejemplo 3 · 7x² = 0
Ecuación inicial: 7x² = 0
Paso 1. Dividimos ambos miembros entre 7.
7x² : 7 = 0 : 7
x² = 0
Paso 2. Tomamos la raíz de cero.
x = 0 (raíz doble).
Comprobación: 7 · 0² = 0.
Tipo B · Falta el término con x
Ejemplo 4 · 2x² − 18 = 0
Ecuación inicial: 2x² − 18 = 0
Paso 1. Sumamos 18 en ambos miembros.
2x² − 18 + 18 = 0 + 18
2x² = 18
Paso 2. Dividimos entre 2.
x² = 18 : 2 = 9
Paso 3. Tomamos las dos raíces.
x = ±√9 = ±3
Soluciones: x = 3 y x = −3.
Comprobación:
2 · 3² − 18 = 18 − 18 = 0
2 · (−3)² − 18 = 18 − 18 = 0
Factorización: 2(x − 3)(x + 3).
Ejemplo 5 · 3x² − 12 = 0
Ecuación inicial: 3x² − 12 = 0
Paso 1. Sumamos 12 en ambos miembros.
3x² − 12 + 12 = 0 + 12
3x² = 12
Paso 2. Dividimos entre 3.
x² = 12 : 3 = 4
Paso 3. Tomamos las dos raíces.
x = ±√4 = ±2
Soluciones: x = 2 y x = −2.
Comprobación:
3 · 2² − 12 = 12 − 12 = 0
3 · (−2)² − 12 = 12 − 12 = 0
Factorización: 3(x − 2)(x + 2).
Ejemplo 6 · 5x² + 20 = 0
Ecuación inicial: 5x² + 20 = 0
Paso 1. Restamos 20 en ambos miembros.
5x² + 20 − 20 = 0 − 20
5x² = −20
Paso 2. Dividimos entre 5.
x² = −20 : 5 = −4
Conclusión: no hay soluciones reales. El cuadrado de un número real nunca puede ser −4.
Tipo C · Falta el término independiente
Ejemplo 7 · x² − 5x = 0
Ecuación inicial: x² − 5x = 0
Paso 1. Escribimos los dos términos como productos que contienen x.
x · x − 5 · x = 0
Paso 2. Sacamos x como factor común.
x(x − 5) = 0
Paso 3. Igualamos cada factor a cero.
x = 0 o x − 5 = 0
Paso 4. Resolvemos la segunda posibilidad.
x − 5 + 5 = 0 + 5
x = 5
Soluciones: x = 0 y x = 5.
Comprobación:
0² − 5 · 0 = 0
5² − 5 · 5 = 25 − 25 = 0
Ejemplo 8 · 2x² + 6x = 0
Ecuación inicial: 2x² + 6x = 0
Paso 1. El factor común es 2x.
2x · x + 2x · 3 = 0
2x(x + 3) = 0
Paso 2. Igualamos cada factor a cero.
2x = 0 o x + 3 = 0
Paso 3. Resolvemos las dos ecuaciones.
2x = 0 → x = 0 : 2 = 0
x + 3 = 0 → x = −3
Soluciones: x = 0 y x = −3.
Comprobación:
2 · 0² + 6 · 0 = 0
2 · (−3)² + 6 · (−3) = 18 − 18 = 0
Ejemplo 9 · 3x² − 12x = 0
Ecuación inicial: 3x² − 12x = 0
Paso 1. Sacamos 3x como factor común.
3x · x − 3x · 4 = 0
3x(x − 4) = 0
Paso 2. Igualamos cada factor a cero.
3x = 0 o x − 4 = 0
Paso 3. Resolvemos.
3x = 0 → x = 0
x − 4 = 0 → x = 4
Soluciones: x = 0 y x = 4.
Comprobación:
3 · 0² − 12 · 0 = 0
3 · 4² − 12 · 4 = 48 − 48 = 0
Vídeo / recurso · Resumen de ecuaciones de segundo grado
4. Ecuaciones de segundo grado completas
Forma general:
ax² + bx + c = 0, con a ≠ 0
Fórmula general:
x = (−b ± √(b² − 4ac)) : (2a)
Se divide todo el numerador entre 2a.
El signo ± indica que hacemos dos cálculos: uno sumando la raíz y otro restándola.
Discriminante: Δ = b² − 4ac.
- Si Δ > 0, hay dos soluciones reales distintas.
- Si Δ = 0, hay una solución real doble.
- Si Δ < 0, no hay soluciones reales.
Ejemplo 1 · x² − 5x + 6 = 0
Ecuación inicial: x² − 5x + 6 = 0
Paso 1. Identificamos los coeficientes, incluyendo sus signos.
a = 1; b = −5; c = 6
Paso 2. Calculamos el discriminante.
Δ = b² − 4ac
Δ = (−5)² − 4 · 1 · 6
Δ = 25 − 24 = 1
Paso 3. Sustituimos en la fórmula general.
x = (−b ± √Δ) : (2a)
x = (−(−5) ± √1) : (2 · 1)
x = (5 ± 1) : 2
Paso 4. Calculamos las dos posibilidades.
x₁ = (5 + 1) : 2 = 6 : 2 = 3
x₂ = (5 − 1) : 2 = 4 : 2 = 2
Soluciones: x = 3 y x = 2.
Comprobación:
3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0
2² − 5 · 2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0
Factorización:
x² − 5x + 6 = (x − 3)(x − 2)
Ejemplo 2 · 2x² + 3x − 2 = 0
Ecuación inicial: 2x² + 3x − 2 = 0
Paso 1. Identificamos los coeficientes.
a = 2; b = 3; c = −2
Paso 2. Calculamos el discriminante.
Δ = 3² − 4 · 2 · (−2)
Δ = 9 − (−16)
Δ = 9 + 16 = 25
Paso 3. Sustituimos en la fórmula.
x = (−3 ± √25) : (2 · 2)
x = (−3 ± 5) : 4
Paso 4. Calculamos las dos posibilidades.
x₁ = (−3 + 5) : 4 = 2 : 4 = 1/2
x₂ = (−3 − 5) : 4 = −8 : 4 = −2
Soluciones: x = 1/2 y x = −2.
Comprobación:
2 · (1/2)² + 3 · (1/2) − 2
= 1/2 + 3/2 − 2 = 0
2 · (−2)² + 3 · (−2) − 2
= 8 − 6 − 2 = 0
Factorización:
2x² + 3x − 2 = 2(x − 1/2)(x + 2)
= (2x − 1)(x + 2)
Ejemplo 3 · x² − 2x − 1 = 0
Ecuación inicial: x² − 2x − 1 = 0
Paso 1. Identificamos los coeficientes.
a = 1; b = −2; c = −1
Paso 2. Calculamos el discriminante.
Δ = (−2)² − 4 · 1 · (−1)
Δ = 4 + 4 = 8
Paso 3. Sustituimos en la fórmula.
x = (−(−2) ± √8) : (2 · 1)
x = (2 ± √8) : 2
Paso 4. Simplificamos la raíz.
√8 = √(4 · 2) = 2√2
x = (2 ± 2√2) : 2
Paso 5. Dividimos los dos términos del numerador entre 2.
x = 2 : 2 ± (2√2) : 2
x = 1 ± √2
x₁ = 1 + √2; x₂ = 1 − √2
Comprobación de la primera solución:
(1 + √2)² − 2(1 + √2) − 1
= 1 + 2√2 + 2 − 2 − 2√2 − 1 = 0
Comprobación de la segunda solución:
(1 − √2)² − 2(1 − √2) − 1
= 1 − 2√2 + 2 − 2 + 2√2 − 1 = 0
Factorización:
x² − 2x − 1 = (x − 1 − √2)(x − 1 + √2)
5. Ecuaciones bicuadradas
Son ecuaciones de la forma:
ax⁴ + bx² + c = 0, con a ≠ 0
Hacemos el cambio t = x². Como x⁴ = (x²)², entonces x⁴ = t².
La ecuación se transforma en:
at² + bt + c = 0
Después de resolverla, volvemos a x. Cada valor positivo de t proporciona dos valores de x. Si t = 0, obtenemos x = 0. Los valores negativos de t no dan soluciones reales.
Ejemplo 1 · x⁴ − 5x² + 4 = 0
Ecuación inicial: x⁴ − 5x² + 4 = 0
Paso 1. Hacemos el cambio de variable.
t = x²; x⁴ = t²
x⁴ − 5x² + 4 = 0
t² − 5t + 4 = 0
Paso 2. Resolvemos la ecuación de segundo grado en t.
a = 1; b = −5; c = 4
Δ = (−5)² − 4 · 1 · 4 = 25 − 16 = 9
t = (5 ± √9) : 2
t = (5 ± 3) : 2
t₁ = (5 + 3) : 2 = 4
t₂ = (5 − 3) : 2 = 1
Paso 3. Volvemos a x utilizando t = x².
Si t = 4: x² = 4 → x = ±√4 = ±2.
Si t = 1: x² = 1 → x = ±√1 = ±1.
Soluciones: x = −2, −1, 1, 2.
Comprobación:
Para x = ±1: 1 − 5 · 1 + 4 = 0.
Para x = ±2: 16 − 5 · 4 + 4 = 0.
Factorización:
x⁴ − 5x² + 4 = (x² − 4)(x² − 1)
= (x − 2)(x + 2)(x − 1)(x + 1)
Ejemplo 2 · x⁴ − 3x² − 4 = 0
Ecuación inicial: x⁴ − 3x² − 4 = 0
Paso 1. Sustituimos t = x² y x⁴ = t².
t² − 3t − 4 = 0
Paso 2. Calculamos el discriminante.
a = 1; b = −3; c = −4
Δ = (−3)² − 4 · 1 · (−4)
Δ = 9 + 16 = 25
Paso 3. Aplicamos la fórmula.
t = (3 ± √25) : 2
t = (3 ± 5) : 2
t₁ = (3 + 5) : 2 = 4
t₂ = (3 − 5) : 2 = −1
Paso 4. Volvemos a x.
t = 4 → x² = 4 → x = ±2.
t = −1 → x² = −1.
La segunda posibilidad no tiene soluciones reales.
Soluciones reales: x = −2 y x = 2.
Comprobación:
Para x = ±2: 16 − 3 · 4 − 4 = 16 − 12 − 4 = 0.
Factorización real:
x⁴ − 3x² − 4 = (x² − 4)(x² + 1)
= (x − 2)(x + 2)(x² + 1)
Vídeo · Explicación de ecuaciones bicuadradas
Enlace del vídeo pendiente de añadir.
Abrir vídeo de bicuadradas6. Ecuaciones de grado 3 o mayor · Ruffini
Primero igualamos a cero y ordenamos el polinomio. Si falta algún grado, escribimos su coeficiente 0.
El teorema del resto dice que el resto de dividir P(x) entre x − r es P(r). Si P(r) = 0, entonces r es raíz y x − r es factor.
Para buscar raíces enteras, probamos divisores del término independiente. Las posibles raíces racionales p/q cumplen que p divide el término independiente y q divide el coeficiente principal.
Ruffini no garantiza encontrar raíces racionales. Si no existen, este procedimiento por sí solo no permite resolver cualquier ecuación.
Ejemplo 1 · x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Ecuación inicial: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0
Paso 1. Probamos divisores de −6.
Candidatos: ±1, ±2, ±3, ±6.
P(1) = 1 − 6 + 11 − 6 = 0
Por tanto, x − 1 es factor.
Paso 2. Dividimos entre x − 1.
| 1 | 1 | −6 | 11 | −6 |
| 1 | −5 | 6 | ||
| 1 | −5 | 6 | 0 |
Bajamos el primer coeficiente, 1. Después multiplicamos por la raíz y sumamos en cada columna:
1 · 1 = 1; −6 + 1 = −5.
−5 · 1 = −5; 11 − 5 = 6.
6 · 1 = 6; −6 + 6 = 0.
Paso 3. Escribimos la ecuación transformada.
(x − 1)(x² − 5x + 6) = 0
Paso 4. Igualamos los factores a cero.
x − 1 = 0 → x = 1.
x² − 5x + 6 = 0
Δ = 25 − 24 = 1
x = (5 ± 1) : 2
x = 3 o x = 2.
Factorización completa:
(x − 1)(x − 2)(x − 3) = 0
Soluciones: x = 1, 2, 3.
Ejemplo 2 · x³ + 2x² − 5x − 6 = 0
Ecuación inicial: x³ + 2x² − 5x − 6 = 0
Paso 1. Probamos posibles raíces.
P(1) = 1 + 2 − 5 − 6 = −8.
Como no da cero, 1 no es raíz.
P(−1) = −1 + 2 + 5 − 6 = 0.
Por tanto, x + 1 es factor.
Paso 2. Dividimos entre x + 1.
| −1 | 1 | 2 | −5 | −6 |
| −1 | −1 | 6 | ||
| 1 | 1 | −6 | 0 |
Bajamos 1 y continuamos:
1 · (−1) = −1; 2 − 1 = 1.
1 · (−1) = −1; −5 − 1 = −6.
−6 · (−1) = 6; −6 + 6 = 0.
Paso 3. Escribimos la ecuación transformada.
(x + 1)(x² + x − 6) = 0
Paso 4. Resolvemos los factores.
x + 1 = 0 → x = −1.
x² + x − 6 = 0
Δ = 1 + 24 = 25
x = (−1 ± 5) : 2
x₁ = 2; x₂ = −3.
Factorización completa:
(x + 1)(x − 2)(x + 3) = 0
Soluciones: x = −1, 2, −3.
Ejemplo 3 · Ecuación de cuarto grado
Ecuación inicial:
x⁴ − 2x³ − 7x² + 8x + 12 = 0
Paso 1. Probamos x = 2.
P(2) = 16 − 16 − 28 + 16 + 12 = 0.
Paso 2. Dividimos entre x − 2.
| 2 | 1 | −2 | −7 | 8 | 12 |
| 2 | 0 | −14 | −12 | ||
| 1 | 0 | −7 | −6 | 0 |
Bajamos 1:
1 · 2 = 2; −2 + 2 = 0.
0 · 2 = 0; −7 + 0 = −7.
−7 · 2 = −14; 8 − 14 = −6.
−6 · 2 = −12; 12 − 12 = 0.
La ecuación queda:
(x − 2)(x³ − 7x − 6) = 0
Paso 3. Buscamos una raíz del cociente Q(x) = x³ − 7x − 6.
Q(−1) = −1 + 7 − 6 = 0.
Dividimos entre x + 1. Escribimos el coeficiente 0 del término x² que falta.
| −1 | 1 | 0 | −7 | −6 |
| −1 | 1 | 6 | ||
| 1 | −1 | −6 | 0 |
Bajamos 1:
1 · (−1) = −1; 0 − 1 = −1.
−1 · (−1) = 1; −7 + 1 = −6.
−6 · (−1) = 6; −6 + 6 = 0.
La ecuación queda:
(x − 2)(x + 1)(x² − x − 6) = 0
Paso 4. Resolvemos el factor de segundo grado.
x² − x − 6 = 0
Δ = (−1)² − 4 · 1 · (−6) = 25
x = (1 ± 5) : 2
x₁ = 3; x₂ = −2.
Factorización completa:
(x − 2)(x + 1)(x − 3)(x + 2) = 0
Soluciones: x = 2, −1, 3, −2.
7. Factorización de polinomios
Factorizar consiste en escribir un polinomio como producto de factores. Buscamos primero factor común; después identidades notables, agrupación o raíces mediante Ruffini.
Si r es raíz, aparece el factor x − r. Debemos conservar el coeficiente principal y repetir los factores correspondientes a raíces múltiples.
Ejemplo 1 · Factor común
Polinomio inicial: 6x³ − 9x²
Paso 1. El MCD de 6 y 9 es 3. La menor potencia de x es x².
Factor común: 3x².
Paso 2. Dividimos cada término entre 3x².
6x³ : (3x²) = 2x
−9x² : (3x²) = −3
Paso 3. Escribimos el factor común fuera y los cocientes dentro.
6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3)
Comprobación:
3x²(2x − 3) = 3x² · 2x − 3x² · 3
= 6x³ − 9x²
Ejemplo 2 · Diferencia de cuadrados
Polinomio inicial: 9x² − 25
Paso 1. Reconocemos dos cuadrados.
9x² = (3x)²
25 = 5²
9x² − 25 = (3x)² − 5²
Paso 2. Aplicamos la identidad:
A² − B² = (A − B)(A + B)
Paso 3. Sustituimos A = 3x y B = 5.
9x² − 25 = (3x − 5)(3x + 5)
Comprobación:
(3x − 5)(3x + 5)
= 9x² + 15x − 15x − 25
= 9x² − 25
Ejemplo 3 · Cuadrado perfecto
Polinomio inicial: x² + 6x + 9
Paso 1. Identificamos los cuadrados del primer y del último término.
x² = (x)²; 9 = 3².
Paso 2. Comprobamos el doble producto.
2 · x · 3 = 6x
Paso 3. Reescribimos el polinomio.
x² + 6x + 9 = x² + 2 · x · 3 + 3²
Paso 4. Aplicamos la identidad del cuadrado de una suma.
A² + 2AB + B² = (A + B)²
x² + 6x + 9 = (x + 3)²
Comprobación:
(x + 3)(x + 3)
= x² + 3x + 3x + 9
= x² + 6x + 9
Ejemplo 4 · Agrupación
Polinomio inicial: x³ + 2x² − 9x − 18
Paso 1. Agrupamos los dos primeros términos y los dos últimos.
(x³ + 2x²) + (−9x − 18)
Paso 2. Sacamos x² del primer grupo y −9 del segundo.
x²(x + 2) − 9(x + 2)
Paso 3. Sacamos el factor común x + 2.
(x + 2)(x² − 9)
Paso 4. Factorizamos la diferencia de cuadrados.
x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3)
Resultado:
x³ + 2x² − 9x − 18 = (x + 2)(x − 3)(x + 3)
Comprobación:
(x + 2)(x² − 9)
= x³ − 9x + 2x² − 18
= x³ + 2x² − 9x − 18
Ejemplo 5 · Factorización mediante Ruffini
Polinomio inicial: 2x³ − 3x² − 8x + 12
Paso 1. Probamos x = 2.
P(2) = 2 · 2³ − 3 · 2² − 8 · 2 + 12
P(2) = 16 − 12 − 16 + 12 = 0.
Por tanto, x − 2 es factor.
Paso 2. Dividimos entre x − 2.
| 2 | 2 | −3 | −8 | 12 |
| 4 | 2 | −12 | ||
| 2 | 1 | −6 | 0 |
Bajamos 2 y continuamos:
2 · 2 = 4; −3 + 4 = 1.
1 · 2 = 2; −8 + 2 = −6.
−6 · 2 = −12; 12 − 12 = 0.
Paso 3. Escribimos el producto obtenido.
2x³ − 3x² − 8x + 12 = (x − 2)(2x² + x − 6)
Paso 4. Buscamos las raíces del factor de segundo grado.
2x² + x − 6 = 0
a = 2; b = 1; c = −6.
Δ = 1² − 4 · 2 · (−6) = 1 + 48 = 49
x = (−1 ± √49) : 4
x = (−1 ± 7) : 4
x₁ = 6 : 4 = 3/2
x₂ = −8 : 4 = −2
Paso 5. Conservamos el coeficiente principal 2.
2x² + x − 6 = 2(x − 3/2)(x + 2)
= (2x − 3)(x + 2)
Factorización completa:
2x³ − 3x² − 8x + 12 = (x − 2)(2x − 3)(x + 2)
Comprobación:
(2x − 3)(x + 2) = 2x² + x − 6
(x − 2)(2x² + x − 6)
= 2x³ + x² − 6x − 4x² − 2x + 12
= 2x³ − 3x² − 8x + 12
Vídeos y recursos de factorización
La numeración de estos recursos corresponde a sus hojas originales.
Vídeo · Ejercicio 28 paso a paso
Vídeo · Ejercicio 29
Vídeo · Ejercicio 33
Vídeo · Ejercicio 68
Vídeo · Ejercicio 69
Vídeo · Ejercicio 5 de la hoja de refuerzo, página 2
Vídeo · Ejercicio 6 de la hoja de refuerzo, página 2
Vídeo adicional · Ejercicio 5
Vídeo adicional · Ejercicio 6
8. Situación de aprendizaje
Un huerto para el instituto
Reto: diseñar un huerto rectangular y justificar sus dimensiones con ecuaciones y factorizaciones.
Datos: el centro dispone de 30 m de valla para cerrar todo el perímetro. La superficie debe ser de 50 m². Llamamos x e y a los lados, medidos en metros.
- Representa el terreno, identifica las incógnitas y escribe las condiciones sobre su perímetro y su área.
- A partir de 2x + 2y = 30, expresa y en función de x.
- Sustituye en xy = 50 y obtén una ecuación de segundo grado. Resuélvela con la fórmula y escribe su factorización.
- Comprueba las dimensiones y explica por qué intercambiar largo y ancho describe el mismo rectángulo.
- Se añade un sendero exterior de anchura t alrededor del huerto. Expresa y desarrolla el área exterior (x + 2t)(y + 2t). Identifica los coeficientes y grados de sus términos.
- Determina t si el área del huerto con el sendero es de 84 m². Justifica qué solución es válida.
Producto final: plano, ecuaciones, pasos de resolución y comprobación de las medidas.
Organización: parejas, una sesión de clase y una breve puesta en común. Cada integrante debe poder explicar el planteamiento.
Evaluación: planteamiento correcto, operaciones justificadas, selección de soluciones válidas, comprobaciones y claridad del plano.
Ejercicios propuestos
9. Soluciones de los ejercicios propuestos
Soluciones de los ejercicios propuestos I
Soluciones de los ejercicios propuestos II
Soluciones de los ejercicios propuestos III
Soluciones de los ejercicios propuestos IV
Soluciones de los ejercicios propuestos V
Soluciones de los ejercicios propuestos VI
🎮 Conquista Europa con las ecuaciones
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