1 ESO: NÚMEROS NATURALES, POTENCIAS Y RAÍCES

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Tema 1. Números naturales

Operaciones y propiedades, potencias, operaciones con potencias, raíces cuadradas y operaciones combinadas. Con ejemplos resueltos, vídeos y ejercicios.

Índice

1. Operaciones con números naturales
2. Propiedades de las operaciones
3. Potencias
4. Operaciones con potencias
5. Raíces cuadradas
6. Operaciones combinadas
7. Ejercicios propuestos
8. Situación de aprendizaje
9. Soluciones
10. Exámenes de otros años
11. Tutor socrático
12. Repaso y prueba de clase

1. Operaciones con números naturales

Sumar
Añadir una cantidad a otra.

Restar
Quitar una cantidad a otra.

Multiplicar
Sumar varias veces el mismo número.

Dividir
Repartir una cantidad en partes iguales.

Prueba de la resta

Minuendo - sustraendo = diferencia
Diferencia + sustraendo = minuendo

Ver ejemplo: prueba de la resta

690 - 147 = 543.
Comprobación: 543 + 147 = 690.

Prueba de la división

Dividendo = divisor · cociente + resto

Recuerda: el resto siempre debe ser menor que el divisor. Si vale 0, la división es exacta.

Ver ejemplo: prueba de la división

822 : 8 = 102 y resto 6.
Comprobación: 8 · 102 + 6 = 822.

Ejemplo 1: la frutería

Fernando compra fruta de lunes a viernes y devuelve la que no vende. ¿Cuántas piezas vende en total?

	L	M	X	J	V
Compra	430	395	325	522	851
Devuelve	12	35	21	22	5

(430-12)+(395-35)+(325-21)+(522-22)+(851-5)
= 418+360+304+500+846 = 2428

Solución: vende 2428 piezas.

Ejemplo 2: cajas de naranjas

Manuel tiene 137 cajas de 6 kg y quiere redistribuir la cosecha en cajas de 8 kg.

137 · 6 = 822 kg
822 : 8 = 102 y resto 6

Solución: llena 102 cajas y quedan 6 kg sin colocar. Para guardarlo todo necesitará una caja adicional incompleta.

2. Propiedades de las operaciones

Conmutativa

El resultado no cambia al intercambiar sumandos o factores.

a+b=b+a   |   a·b=b·a

Asociativa

El resultado no cambia al agrupar de otra forma.

a+(b+c)=(a+b)+c
a·(b·c)=(a·b)·c

Ver ejemplos de la propiedad asociativa

4+(3+2)=(4+3)+2=9.
4·(3·2)=(4·3)·2=24.

Elemento neutro

a+0=a   |   a·1=a

Distributiva y factor común

a·(b+c)=a·b+a·c
a·(b-c)=a·b-a·c

Ver ejemplos: distributiva y factor común

4·(3+2)=4·3+4·2=20.
6·4+6·9=6·(4+9)=78.

▶ Vídeo: propiedades de las operaciones

▶ Vídeo: propiedad distributiva

3. Potencias de números naturales

Una potencia abrevia una multiplicación de factores iguales.

a<sup>n</sup>=a·a·...·a (n veces)

La base es el factor repetido; el exponente indica cuántas veces se repite.

Ver ejemplos de potencias

2·2·2·2=2<sup>4</sup>=16.
3·3·3·3·3·3=3<sup>6</sup>=729.

Potencias de base 10

10<sup>2</sup>=100   |   10<sup>3</sup>=1000   |   10<sup>5</sup>=100 000

Son útiles para abreviar números grandes:

5 200 000=52·10<sup>5</sup>=5,2·10<sup>6</sup>
1 230 000 000=123·10<sup>7</sup>=1,23·10<sup>9</sup>

Notación científica normalizada: el primer factor debe ser al menos 1 y menor que 10.

▶ Vídeo: potencias de números naturales

▶ Vídeo adicional: potencias 2023

4. Operaciones con potencias

Operación	Regla	Ejemplo
Producto, misma base	am·an=am+n	25·210=215
Cociente, misma base	am:an=am-n	25:22=23
Potencia de potencia	(am)n=am·n	(22)3=26
Exponente 1	a1=a	71=7
Exponente 0	a0=1, si a≠0	90=1

Atención: solo se suman o restan exponentes cuando las bases son iguales.

▶ Vídeo: operaciones con potencias I

▶ Vídeo: operaciones con potencias II

5. Raíces cuadradas

Raíz exacta

La raíz cuadrada exacta de un número es otro número cuyo cuadrado es igual al radicando.

√a=b si b<sup>2</sup>=a

Ver ejemplo de raíz exacta

√16=4 porque 4<sup>2</sup>=16.

Los números con raíz exacta se llaman cuadrados perfectos.

Cuadrado	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
Raíz	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Raíz entera y resto

La raíz entera es el mayor natural cuyo cuadrado no supera al radicando.

Ver ejemplo de raíz entera y resto

√18 está entre 4 y 5:
4<sup>2</sup>=16<18 y 5<sup>2</sup>=25>18.
La raíz entera es 4 y el resto es 18-4<sup>2</sup>=2.

▶ Vídeo: raíz cuadrada

6. Operaciones combinadas

1. Paréntesis y corchetes.
2. Potencias y raíces.
3. Productos y cocientes, de izquierda a derecha.
4. Sumas y restas, de izquierda a derecha.

Importante: multiplicaciones y divisiones tienen la misma prioridad; se hacen de izquierda a derecha. Lo mismo ocurre con sumas y restas.

Ver ejemplos de operaciones combinadas

Ejemplo 1

3+8:2·3-4·2+1
=3+4·3-8+1
=3+12-8+1=8

Ejemplo 2

16+(27-6):3-5·3
=16+21:3-15
=16+7-15=8

▶ Vídeo: operaciones combinadas

7. Ejercicios propuestos

Entrega: copia el procedimiento completo. No basta con escribir el resultado. Las soluciones se publicarán después de la fecha de entrega.

Método: identifica datos y pregunta, decide las operaciones, calcula respetando la prioridad y responde con una frase.

Ejercicios propuestos I — Operaciones con números naturales

1. Calcula:

1. 32 + 4506 + 294
2. 562 + 3009 + 473
3. 690 + 3 + 3491 + 14
4. 37 + 91 + 5 + 5056
5. 562 - 89
6. 1295 - 453
7. 690 - 147 - 543
8. 9001 - 17 - 3892

2. Copia y completa:

1. 256 + ___ = 591
2. 48 + ___ = 931
3. ___ + 791 = 1005
4. ___ + 72 = 123

3. Aplica la prueba de la resta y completa:

1. 432 - ___ = 191
2. 927 - ___ = 571
3. ___ - 195 = 1005
4. ___ - 97 = 709

4. Multiplica:

1. 701 · 5
2. 23 · 45
3. 309 · 165
4. 4901 · 6023

5. Calcula el cociente y el resto:

1. 506 : 28
2. 2848 : 32
3. 5007 : 17
4. 64368 : 596

6. Completa usando la prueba de la división:

Dividendo	Divisor	Cociente	Resto
34	___	5	4
127	8	___	7
___	42	7	3
691	18	38	___

7. Comprueba las igualdades:

1. (23 + 12) + 7 = (12 + 23) + 7
2. 32 · (2 · 12) = (2 · 32) · 12

8. Completa e indica la propiedad:

1. ___ · (9 + 3) = 4 · ___ + 4 · ___
2. 7 · (___ + 5) = ___ · 9 + ___ · 5

9. Saca factor común:

1. 6 · 4 + 6 · 9
2. 12 · 10 - 12 · 8
3. 7 · 8 - 5 · 8
4. 6 · 9 + 4 · 9

10. Extrae factor común:

1. 12 · 5 - 3 · 12 + 12 · 8
2. 6 · 9 - 6 · 3 - 6 · 2
3. 3 · 4 - 4 · 2 + 4 · 6
4. 7 · 5 + 5 · 9 - 4 · 5

11. Saca factor común:

1. 4 · 5 - 5
2. 9 + 2 · 9
3. 6 · 5 - 6 + 6 · 8
4. 3 - 3 · 2 + 4 · 3

Ejercicios propuestos II — Potencias

1. Calcula y escribe cómo se leen: a) 10<sup>7</sup>; b) 10<sup>14</sup>.

2. Escribe mediante potencias de base 10: a) 4 800 000; b) 200 000 000.

3. Completa la tabla:

Potencia	Base	Exponente	Valor	Se lee
___	___	___	___	2 al cuadrado
33	___	___	___	___
___	5	___	625	___
___	2	4	___	___

4. Cubos de Rubik. El original, creado por Ernő Rubik en 1974, estaba formado por 27 cubitos. Observa un cubo 3×3×3 y otro 4×4×4: a) ¿cuántos cubitos tenía el original por cara? b) ¿cuántos cubitos forman cada cubo? c) ¿cuántos cuadrados tiene cada cara? Expresa los resultados como potencias y calcúlalos.

5. Repostería. Se empaquetan 12 galletas por paquete y 12 paquetes por caja. Para un pedido de 25 cajas, ¿cuántas galletas hacen falta? Expresa la operación usando potencias.

Ejercicios propuestos III — Operaciones con potencias

1. Escribe como una sola potencia:

1. 3<sup>7</sup> · 3<sup>3</sup>
2. 2<sup>2</sup> · 2<sup>5</sup>
3. 8 · 8<sup>5</sup>
4. 9<sup>12</sup> · 9<sup>5</sup> · 9<sup>3</sup>
5. 5<sup>3</sup> · 5<sup>9</sup> · 5<sup>6</sup>
6. 4 · 4<sup>8</sup> · 4

2. Completa el exponente:

1. 5<sup>3</sup> · 5<sup>x</sup> = 5<sup>7</sup>
2. 2<sup>x</sup> · 2<sup>6</sup> = 2<sup>10</sup>
3. 7<sup>7</sup> · 7 · 7<sup>x</sup> = 7<sup>10</sup>
4. 8<sup>x</sup> · 8<sup>3</sup> · 8 = 8<sup>11</sup>

3. Expresa como una sola potencia:

1. 3<sup>7</sup> : 3<sup>3</sup>
2. 4<sup>8</sup> : 4<sup>2</sup>
3. 9<sup>12</sup> : 9<sup>5</sup> : 9<sup>3</sup>
4. 5<sup>19</sup> : 5<sup>9</sup> : 5<sup>6</sup>

4. Completa el exponente:

1. 5<sup>8</sup> : 5<sup>x</sup> = 5<sup>6</sup>
2. 2<sup>x</sup> : 2<sup>3</sup> = 2<sup>4</sup>
3. 7<sup>7</sup> : 7 : 7<sup>x</sup> = 7<sup>4</sup>
4. 8<sup>x</sup> : 8<sup>3</sup> : 8 = 8

5. Expresa como una sola potencia:

1. 5<sup>3</sup> · 5<sup>3</sup> : 5<sup>4</sup>
2. 2<sup>6</sup> : 2<sup>4</sup> · 2<sup>3</sup>
3. 7<sup>15</sup> : 7<sup>3</sup> · 7
4. 9<sup>10</sup> : 9<sup>4</sup> · 9 · 9<sup>5</sup>

6. Expresa como una sola potencia: a) (3<sup>7</sup>)<sup>2</sup>; b) (5<sup>5</sup>)<sup>3</sup>; c) (2<sup>9</sup>)<sup>5</sup>; d) (4<sup>8</sup>)<sup>2</sup>.

7. Completa el exponente: a) (3<sup>x</sup>)<sup>3</sup>=3<sup>12</sup>; b) (5<sup>4</sup>)<sup>x</sup>=5<sup>24</sup>; c) (2<sup>x</sup>)<sup>5</sup>=2<sup>30</sup>; d) (4<sup>6</sup>)<sup>x</sup>=4<sup>18</sup>.

8. Reduce a una sola potencia: a) 5<sup>6</sup>·(5<sup>3</sup>)<sup>3</sup>:5; b) (9<sup>6</sup>)<sup>2</sup>:9·9<sup>2</sup>; c) 2<sup>5</sup>:2<sup>3</sup>·(2<sup>5</sup>)<sup>3</sup>; d) 3·(3<sup>7</sup>)<sup>2</sup>:3<sup>4</sup>.

9. Calcula y expresa como una sola potencia: a) 7<sup>6</sup>(7<sup>3</sup>:7<sup>2</sup>)<sup>3</sup>; b) (9<sup>6</sup>:9)<sup>3</sup>·9<sup>2</sup>; c) (4<sup>7</sup>:4<sup>3</sup>)<sup>3</sup>·(4<sup>2</sup>)<sup>5</sup>; d) (5<sup>2</sup>)<sup>3</sup>·(5<sup>7</sup>:5<sup>6</sup>)<sup>8</sup>.

Raíces cuadradas

1. Completa: a) 32<sup>2</sup>=1024, entonces √1024=___; b) 27<sup>2</sup>=729, entonces √729=___; c) 19<sup>2</sup>=361, entonces √361=___; d) 25<sup>2</sup>=625, entonces √625=___.

2. Calcula: √9, √64, √100, √36, √49, √81, √121, √144 y √169.

3. Completa los radicandos: √___=14; √___=15; √___=16; √___=17; √___=18; √___=19; √___=20.

4. Calcula: √400, √250000, √1600, √810000, √4900, √90000, √10000 y √12100.

5. Calcula la raíz entera y el resto: √501, √1250 y √762.

6. Calcula la raíz entera y el resto: √32, √55, √95, √59, √101 y √110.

7. Mario quiere rodear con alambre un terreno cuadrado de 144 m². ¿Cuántos metros necesita?

8. Juan dispone de 180 baldosas cuadradas para una habitación cuadrada: a) ¿puede colocarlas sin que sobren? b) ¿máximo de baldosas por fila? c) ¿cuántas más necesita para formar 14 filas? Justifica.

Operaciones combinadas

1. Resuelve:

1. 12-9:3+5·4-7
2. 32+12-12·2-18:9
3. 2·4-15:5+10-3·2
4. 16-8·2+22:11+7
5. 3·4-18:6·2
6. 12-6·3:2+1
7. 1+4·2·3-2·3
8. 12-8:4+30:6:5

2. Calcula:

1. 23-5+7·3-(25-9-5)
2. 32:4-(8-5-1)-(12-11)-1
3. 9·5+15:3-(32-3)-(18-8-1)
4. 12+4·6-(4+10-7)-2+8:4
5. 12+4·2-(3+5):2
6. 9+12:3+5(10-9+2)+2
7. 15-4+3(12-4):6+49
8. 32-(16-(12-7)·3+1)+18:6+5
9. 19-9+(7(12-10)+2(5-3))
10. 6:2+4(3+4(9-6)+1)-9
11. 5+5·3-(15-4·3)

Problemas finales

1. Centro educativo.

	A	B	C	D	E
1.º	32	33	31	30	32
2.º	29	28	31	31	-
3.º	26	29	27	27	-
4.º	31	30	33	-	-

1. ¿Cuántos alumnos hay en total?
2. ¿Cuántos hay en 1.º más que en 2.º?
3. ¿Cuántos hay en 4.º menos que en 3.º?
4. ¿Qué grupo tiene más y cuál menos?

2. Ofertas de refrescos. Oferta A: 4 rojos, 1 naranja y 1 amarillo por 2 €. Oferta B: 2 rojos, 4 naranjas y 4 amarillos por 4 €. Oferta C: 3 rojos, 2 naranjas y 3 amarillos por 3 €. Se compran 4 lotes A, 7 lotes B y 6 lotes C. Escribe operaciones combinadas para calcular: a) cantidad de cada refresco; b) número total de botes; c) coste total.

3. Plantación. 15 cajas de 25 kg de naranjas, 18 de 10 kg de limones y 41 de 4 kg de mandarinas: a) expresa la producción con una operación combinada; b) ¿cabe en una furgoneta de 810 kg?

4. Edades. María tiene 12 años, su madre el triple más uno y su abuelo el doble que la madre. Calcula las edades con operaciones combinadas.

5. Cine. 11 salas, 11 filas por sala y 11 butacas por fila. Expresa el aforo como potencia y calcúlalo.

6. Canicas. 25 canicas por paquete y 25 paquetes por caja. Pedido: 5 cajas verdes y 7 amarillas. ¿Cuántas canicas contiene?

7. Cuadrados. Halla lado y perímetro de cuadrados de 49 cm², 64 cm² y 121 cm².

8. Situación de aprendizaje: organizamos la fiesta del instituto

Producto final: presupuesto razonado y propuesta de compra para una fiesta de 120 personas.

Contexto. El alumnado debe comparar lotes de bebidas, calcular cantidades, ajustar un presupuesto y justificar una decisión. Se aplicarán operaciones, propiedades, potencias, raíces y operaciones combinadas.

Datos

• Presupuesto máximo: 650 €.
• Se necesitan 2 bebidas por persona.
• Cada caja contiene 2<sup>4</sup> bebidas y cuesta 18 €.
• Se reservarán 85 € para decoración y 6 bandejas de comida a 42 € cada una.
• La zona de baile será cuadrada y tendrá 64 m².

Retos

1. Calcula el número mínimo de bebidas y cajas necesarias.
2. Calcula el gasto total y el dinero sobrante.
3. Expresa el coste mediante una operación combinada.
4. Calcula el lado y el perímetro de la zona de baile.
5. Propón una modificación si se añaden 30 asistentes sin superar el presupuesto.
6. Presenta una tabla de presupuesto y explica por qué tu propuesta es viable.

Autoevaluación: ¿he escrito todas las operaciones?, ¿he respetado su prioridad?, ¿he incluido unidades?, ¿he comprobado que mi respuesta cumple las condiciones?

9. Soluciones de los ejercicios propuestos

Una vez que hayas intentado los ejercicios, puedes consultar aquí las soluciones para comprobar tus resultados.

✓ Ver soluciones de los ejercicios propuestos

Soluciones

Aquí puedes añadir las soluciones de los ejercicios cuando quieras publicarlas.

10. Exámenes de otros años

Utiliza estos exámenes para comprobar si estás preparado. Intenta hacerlos sin consultar los apuntes y revisa la solución solamente al terminar.

Examen de otros años I

Ver examen

EXAMEN I

Aquí puedes añadir el examen del primer año.

Ver solución del examen

SOLUCIÓN EXAMEN I

Aquí puedes añadir la solución del examen.

Examen de otros años II

Ver examen

EXAMEN II

Aquí puedes añadir el segundo examen.

Ver solución del examen

SOLUCIÓN EXAMEN II

Aquí puedes añadir la solución del examen.

Examen de otros años III

Ver examen

EXAMEN III

Aquí puedes añadir el tercer examen.

Ver solución del examen

SOLUCIÓN EXAMEN III

Aquí puedes añadir la solución del examen.

11. Practica con el tutor socrático

Si te bloqueas, puedes utilizar el tutor de Matemáticas. No te dará directamente la respuesta: te hará preguntas y te ofrecerá pistas para que encuentres tu propio camino.

Abrir el tutor socrático

Antes de abrirlo: copia el ejercicio, explica qué has intentado y señala exactamente dónde te has bloqueado.

12. Repaso y prueba de clase

Intenta resolver cada cuestión antes de ver la explicación.

▶ Vídeo: ejercicios de repaso

▶ Vídeo: prueba de clase de todo el tema

Comprueba que sabes...

• Realizar y comprobar las cuatro operaciones.
• Aplicar las propiedades y extraer factor común.
• Calcular potencias y operar con ellas.
• Calcular raíces exactas, enteras y restos.
• Resolver operaciones combinadas y problemas.

Consejo: explica en voz alta por qué realizas cada paso. Si solo recuerdas el resultado, vuelve al ejemplo y reconstruye el procedimiento.

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