1 BACHILLERATO - INTRODUCCIÓN AL ANÁLISIS

TEMA 8 · DOMINIO, LÍMITES, CONTINUIDAD Y RAMAS INFINITAS

Dominio de una función · Límites · Continuidad · Indeterminaciones · Asíntotas · Discontinuidades

Índice

1. Dominio de una función
2. Límites de una función en un punto
3. Continuidad
4. Cálculo de límites
5. Límites cuando x → ±∞
6. Indeterminaciones
7. Ramas infinitas y asíntotas
8. Tipos de discontinuidades
9. Ejercicios extra, soluciones y exámenes

1. Dominio de una función

El dominio de una función es el conjunto de valores de x para los cuales existe la función. Dicho de otra forma, son todos los valores que podemos dar a x y para los que podemos calcular f(x).

Idea fundamental: para calcular un dominio debemos localizar qué operaciones pueden dejar de existir: divisiones entre cero, raíces pares de números negativos o logaritmos de números menores o iguales que cero.

1.1. Funciones polinómicas

f(x) = a_nxⁿ + a_n−1xⁿ⁻¹ + ··· + a₁x + a₀

Una función polinómica está definida para cualquier número real. No aparecen denominadores, raíces pares ni logaritmos que puedan imponer restricciones.

Dom f = ℝ

1.2. Cociente de polinomios

f(x) = P(x) Q(x)

Una fracción existe siempre que su denominador sea distinto de cero. Por tanto, debemos resolver Q(x)=0 y excluir del dominio las soluciones.

▶ Vídeo 1 · Dominio: cociente de polinomios

Ejemplo 1

Calculamos el dominio de:

f(x) = x³ + 2x − 1

Se trata de un cociente de polinomios. El numerador no provoca ninguna restricción. El único problema aparece cuando el denominador vale cero.

1. Igualamos el denominador a cero:

x − 1 = 0

2. Resolvemos:

x = 1

Para x=1 tendríamos una división entre cero:

1³ + 21 − 1 = 30

Por tanto, debemos eliminar x=1 del conjunto de los números reales.

Dom f = ℝ − {1}

En forma de intervalos:

Dom f = (−∞,1) ∪ (1,+∞)

Ejemplo 2

Calculamos el dominio de:

f(x) = x³ + 2x² + x − 2

Buscamos los valores que anulan el denominador:

x² + x − 2 = 0

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

x = −1 ± √(1² − 4·1·(−2))2 = −1 ± 32

x = 1    ;    x = −2

Los dos valores producen una división entre cero, así que debemos excluirlos.

Dom f = ℝ − {−2,1}

Dom f = (−∞,−2) ∪ (−2,1) ∪ (1,+∞)

1.3. Funciones irracionales

f(x)=√g(x)

Cuando aparece una raíz de índice par, el radicando debe ser mayor o igual que cero:

g(x) ≥ 0

El cero sí está permitido, porque √0=0.

▶ Vídeo 2 · Dominio: funciones irracionales

Ejemplo 3

Calculamos el dominio de:

f(x)=√(x³+2x²−x−2)

El radicando tiene que ser mayor o igual que cero:

x³+2x²−x−2 ≥ 0

1. Buscamos los valores donde el radicando se anula:

x³+2x²−x−2=0

Factorizamos por agrupación:

x²(x+2) − 1(x+2)=0

(x+2)(x²−1)=0

(x+2)(x+1)(x−1)=0

Las raíces son:

x=−2,   x=−1,   x=1

2. Estudiamos el signo.

Intervalo	(−∞,−2)	(−2,−1)	(−1,1)	(1,+∞)
Signo	−	+	−	+

Necesitamos los intervalos positivos y también incluimos los puntos donde el radicando vale cero.

Dom f = [−2,−1] ∪ [1,+∞)

Ejemplo 4

Calculamos el dominio de:

f(x)=√( x−1x+1 )

Al aparecer una raíz cuadrada necesitamos que el cociente del radicando sea mayor o igual que cero:

x−1x+1 ≥ 0

1. Cero del numerador:

x−1=0 → x=1

x=1 puede incluirse porque hace que el radicando sea cero.

2. Cero del denominador:

x+1=0 → x=−1

x=−1 nunca puede incluirse porque produciría una división entre cero.

3. Estudiamos los signos:

Intervalo	(−∞,−1)	(−1,1)	(1,+∞)
Signo	+	−	+

Dom f=(−∞,−1) ∪ [1,+∞)

1.4. Funciones logarítmicas

f(x)=log(g(x))

El argumento de un logaritmo debe ser estrictamente positivo:

g(x)>0

Ahora el cero no se incluye, porque log 0 no existe.

▶ Vídeo 3 · Dominio: funciones logarítmicas

Ejemplo 5

Calculamos el dominio de:

f(x)=log(x³+2x²−x−2)

Imponemos la condición:

x³+2x²−x−2 > 0

Factorizamos:

(x+2)(x+1)(x−1)>0

Los puntos donde puede cambiar el signo son −2, −1 y 1.

Intervalo	(−∞,−2)	(−2,−1)	(−1,1)	(1,+∞)
Signo	−	+	−	+

Como necesitamos una desigualdad estricta, las raíces no se incluyen.

Dom f=(−2,−1) ∪ (1,+∞)

Ejemplo 6

Calculamos el dominio de:

f(x)=log( x−1x+1 )

El argumento del logaritmo tiene que ser estrictamente positivo:

x−1x+1>0

Los puntos críticos son:

x=1    y    x=−1

Intervalo	(−∞,−1)	(−1,1)	(1,+∞)
Signo	+	−	+

Ni −1 ni 1 pueden incluirse.

Dom f=(−∞,−1) ∪ (1,+∞)

1.5. Función exponencial

f(x)=a^x,   a>0,   a≠1

La función exponencial está definida para cualquier valor real del exponente:

Dom f=ℝ

Si el exponente contiene una fracción, una raíz o un logaritmo, habrá que estudiar la existencia de dicho exponente aplicando las condiciones anteriores.

Ejercicios propuestos I · Dominio de una función

Halla el dominio de las funciones del primer bloque del PDF.

Importante: este bloque debe conservar íntegramente los apartados a)–z) del documento original. Las expresiones del PDF fuente no se extraen de forma fiable como texto en varios apartados, por lo que no se sustituyen aquí por fórmulas inventadas o reconstruidas con dudas.

Ejercicios propuestos II · Dominio de funciones logarítmicas

Halla el dominio de todas las funciones logarítmicas del segundo bloque del PDF.

Se mantiene como bloque independiente para respetar la segunda batería de ejercicios del material.

2. Límites de una función en un punto

Para definir rigurosamente la continuidad necesitamos estudiar qué ocurre con los valores de una función cuando x se aproxima a un determinado número.

2.1. Límite lateral por la izquierda

limx → c⁻f(x)

Se lee «límite de f(x) cuando x tiende a c por la izquierda».

Significa que damos a x valores cada vez más próximos a c, pero siempre menores que c.

Interpretación gráfica · x → c⁻

El símbolo c⁻ no significa «c negativo»: indica que nos aproximamos a c utilizando valores menores que c.

Ejemplo 7 · Límite infinito positivo por la izquierda

Sea:

f(x)=1(x−1)²

La función no está definida en x=1:

Dom f=ℝ−{1}

Nos aproximamos a 1 mediante valores menores que 1.

limx → 1⁻ 1(x−1)² =+∞

Interpretación gráfica

Ejemplo 8 · Límite infinito negativo por la izquierda

f(x)=1x−1

Cuando x se aproxima a 1 por la izquierda:

x−1 → 0⁻

limx → 1⁻ 1x−1 =−∞

Ejemplo 9 · Límite finito por la izquierda

f(x)=x²+5

Esta función es polinómica y está definida para todos los números reales.

limx → 1⁻ (x²+5)=6

Ejemplo 10 · Varios límites por la izquierda de x=3

a) Cuando x→3⁻, (x−3)²→0⁺.

−50⁺=−∞

b) Cuando x→3⁻, 3−x→0⁺.

40⁺=+∞

c) La función 2^x es continua:

2³=8

2.2. Límite lateral por la derecha

limx → c⁺f(x)

Ahora x toma valores cada vez más próximos a c, pero siempre mayores que c.

Ejemplo 11

limx → 1⁺ 1(x−1)² =+∞

Ejemplo 12

limx → 1⁺ −1x−1 =−∞

Ejemplo 13

limx → 1⁺ (x²+5)=6

Ejemplo 14 · Varios límites por la derecha de x=3

a)

−5/0⁺=−∞

b) Si x>3, entonces 3−x→0⁻:

4/0⁻=−∞

c)

2³=8

2.3. Límite cuando x → c

Para que exista un límite finito en x=c, los dos límites laterales deben coincidir:

Si limx → c⁻f(x) = limx → c⁺f(x) =l, entonces limx → cf(x)=l

Ejemplo 15 · Comparación de los límites laterales

a) Para f(x)=−5/(x−3)², ambos límites laterales son −∞.

b) Para f(x)=4/(3−x), por la izquierda obtenemos +∞ y por la derecha −∞.

c) Para f(x)=2^x, ambos límites laterales valen 8.

limx → 3 2^x=8

▶ Vídeo 4 · Límite cuando x → c

▶ Vídeo 5 · Límite cuando x → c

3. Continuidad en x=c

Una función es continua en x=c cuando:

limx → c f(x)=f(c)

Esta condición resume tres comprobaciones:

1. Existe un límite finito cuando x→c.
2. La función está definida en x=c.
3. El límite coincide con el valor de la función.

4. Cálculo de límites en un punto

4.1. Función continua en el punto

Si la función está definida y es continua en x=c, podemos sustituir directamente:

limx → cf(x)=f(c)

Ejemplo 16 · Cálculo directo de límites

a) lim x→3 x² = 9.

b) lim x→2 5x/(x−5) = −10/3.

c) lim x→7 √(3x+4) = 5.

d) lim x→π/4 (sen x+3) = (6+√2)/2.

Ejercicios propuestos III · Límites por sustitución

1. lim_x→0 3/(x−2)
2. lim_x→0 (cos x−1)
3. lim_x→2 √(x²−3x+5)
4. lim_x→0,1 log x

4.2. Funciones definidas a trozos

En los puntos donde cambia la expresión de la función calculamos separadamente los límites laterales.

▶ Vídeo 6 · Funciones definidas a trozos

▶ Vídeo 7 · Funciones definidas a trozos

▶ Vídeo 8 · Funciones definidas a trozos

Ejemplo 17

f(x)={ 2x−5 si x<3;   −x+2 si x≥3 }

Por la izquierda:

lim_x→3⁻(2x−5)=1

Por la derecha:

lim_x→3⁺(−x+2)=−1

Los límites laterales son distintos, por lo que no existe el límite en x=3.

Ejemplo 18

f(x)={ −x²−4x−2 si x<−1;   x² si x≥−1 }

lim_x→−1⁻f(x)=1

lim_x→−1⁺f(x)=1

f(−1)=1

La función es continua en x=−1.

Ejemplo 19 · Cálculo de un parámetro

f(x)={ x²−5x+1 si x≤4;   2x+n si x>4 }

lim_x→4⁻f(x)=−3

lim_x→4⁺f(x)=8+n

Igualamos:

−3=8+n → n=−11

Ejercicios propuestos IV · Funciones a trozos y continuidad

Se conserva el bloque de ejercicios del tema.

4.3. Cociente entre polinomios

1. Si Q(c)≠0, sustituimos directamente.

2. Si Q(c)=0 y P(c)≠0, estudiamos los límites laterales.

3. Si P(c)=Q(c)=0, aparece la indeterminación 0/0.

Ejemplo 20

limx → 0 x+12−x =1/2

▶ Vídeo 9 · Límites de cocientes

Ejemplo 21

limx → 2 x+12−x

Por la izquierda obtenemos +∞ y por la derecha −∞.

Ejemplo 22 · Indeterminación 0/0

a)

limx → 0 x³−3x²x⁴

Factorizamos x² y simplificamos:

x−3x² → −∞

b)

x²−5x+6x²+3x−10 = (x−3)(x−2)(x+5)(x−2)

Simplificamos x−2 y sustituimos x=2:

−1/7

c) Tras factorizar y simplificar se obtiene:

0

d) Racionalizando con el conjugado se obtiene:

1/3

▶ Vídeo 10 · Indeterminación 0/0

▶ Vídeo 11 · Indeterminación 0/0

Ejercicios propuestos V · Límites en un punto e indeterminación 0/0

Bloque completo de límites en un punto del material original.

5. Límites cuando x → ±∞

x→+∞ significa que damos a x valores positivos cada vez mayores. El símbolo ∞ no es un número.

Ejemplo 23

f(x)= 2x²−3x²+5

Los valores se aproximan cada vez más a 2:

limx → ∞ f(x)=2

▶ Vídeo 12 · Límites cuando x → ±∞

5.1. Funciones polinómicas

El comportamiento viene determinado por el término de mayor grado.

Ejemplo 24

lim_x→∞(3x⁴−5x³)=+∞

lim_x→∞(−5x⁵+2x−2)=−∞

5.2. Inversas de polinomios

Ejemplo 25

f(x)=1/(2x+3)

Al crecer x, el denominador se hace cada vez mayor y la fracción se aproxima a cero.

lim_x→∞ 1/(2x+3)=0

5.3. Funciones racionales

grado P > grado Q: comportamiento infinito.

grado P < grado Q: límite 0.

grado P = grado Q: cociente de los coeficientes principales.

▶ Vídeo 13 · Límites de funciones racionales

Ejemplo 26

lim_x→∞ 5x⁴−3x²3x³+2x²+1 =+∞

Ejemplo 27

lim_x→∞ 5x²−3x3x³+2x²+1 =0

Ejemplo 28

lim_x→∞ 5x³−3x²3x³+2x²+1 =5/3

5.4. Cuando x → −∞

n par → xⁿ → +∞

n impar → xⁿ → −∞

Ejemplo 29

lim_x→−∞x²=+∞

lim_x→−∞x³=−∞

Ejercicios propuestos VI · Límites cuando x → ±∞

Se conserva el bloque completo de ejercicios del tema.

6. Indeterminaciones

6.1. Indeterminación 0·∞

Cuando un factor tiende a cero y otro a infinito no podemos multiplicar directamente. Debemos transformar la expresión.

Ejemplo 30

lim_x→∞ 1x √(x²+3x)

Tenemos la indeterminación 0·∞. La escribimos como cociente:

√(x²+3x)x

Extraemos x² de la raíz y simplificamos:

√(1+3/x) → 1

6.2. Indeterminación 1^∞

lim (1+f(x))^1/f(x)=e

Ejemplo 31

lim_x→+∞ ( 3x−53x−2 )^2x²

La base tiende a 1 y el exponente a +∞.

Resultado: 0

Ejemplo 32

lim_x→0(1+3x)^2/x

(1+3x)^2/x=[(1+3x)^1/(3x)]⁶

Resultado: e⁶

Ejercicios propuestos VII · Indeterminaciones

Se conserva el bloque completo de ejercicios del tema.

7. Ramas infinitas y asíntotas

Las ramas infinitas son tramos de una curva que se alejan indefinidamente. Cuando la curva se aproxima cada vez más a una recta, esa recta recibe el nombre de asíntota.

• Asíntota vertical: x=c.
• Asíntota horizontal: y=l.
• Asíntota oblicua: y=mx+n.
• Rama parabólica: rama infinita que no se aproxima a una recta.

7.1. Asíntotas verticales

Si f(x) → ±∞ cuando x → c, entonces x=c es una asíntota vertical.

Ejemplo 33

f(x)=x²x−3

Dom f=ℝ−{3}

lim_x→3⁻f(x)=−∞

lim_x→3⁺f(x)=+∞

x=3 es una asíntota vertical.

Ejemplo 34

f(x)=1/√(x−2)

Dom f=(2,+∞)

lim_x→2⁺f(x)=+∞

x=2 es una asíntota vertical.

▶ Vídeo 14 · Asíntotas verticales

7.2. Asíntotas horizontales

Si lim_x→±∞f(x)=l, entonces y=l es una asíntota horizontal.

Ejemplo 35

f(x)=1/√(x−2)

lim_x→+∞f(x)=0

y=0 es una asíntota horizontal.

Ejemplo 36

f(x)=e^x

lim_x→+∞e^x=+∞

lim_x→−∞e^x=0

Por tanto, y=0 es una asíntota horizontal cuando x→−∞.

7.3. Asíntotas oblicuas

y=mx+n

m=lim_x→±∞ f(x)/x

n=lim_x→±∞[f(x)−mx]

Ejemplo 37 · Estudio completo de asíntotas

f(x)= x²−3x+5x

1. Dominio:

Dom f=ℝ−{0}

2. Asíntota vertical:

x=0

3. Asíntota horizontal: no existe.

4. Asíntota oblicua:

m=1

n=−3

y=x−3

Nota sobre el material: con los cálculos m=1 y n=−3, la ecuación resultante es y=x−3. En el PDF aparece posteriormente y=x+3, lo que no coincide con el valor de n obtenido en el propio desarrollo.

Ejercicios propuestos VIII · Asíntotas y ramas infinitas

Determina las asíntotas y la posición de la curva respecto de ellas en todas las funciones del bloque original.

8. Tipos de discontinuidades

8.1. Discontinuidad de salto infinito

Se produce cuando alguno de los límites laterales presenta comportamiento infinito.

8.2. Discontinuidad de salto finito

Los dos límites laterales existen y son finitos, pero no coinciden.

8.3. Discontinuidad evitable

Caso 1: el límite existe pero f(a) no está definida.

Caso 2: el límite existe y la función está definida, pero sus valores no coinciden.

▶ Vídeo 15 · Continuidad y tipos de discontinuidades

Ejercicios propuestos IX · Continuidad y discontinuidades

En las funciones cuyas gráficas aparecen en el material, calcula:

1. El límite de f(x) cuando x→3⁻.
2. El límite de f(x) cuando x→3⁺.
3. El límite de f(x) cuando x→3.
4. f(3).
5. Estudia la continuidad en x=3.
6. Indica el tipo de discontinuidad.

9. Soluciones de los ejercicios propuestos

✓ Soluciones · Ejercicios propuestos I

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✓ Soluciones · Ejercicios propuestos II

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✓ Soluciones · Ejercicios propuestos III

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✓ Soluciones · Ejercicios propuestos IV

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✓ Soluciones · Ejercicios propuestos V

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✓ Soluciones · Ejercicios propuestos VI

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✓ Soluciones · Ejercicios propuestos VII

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✓ Soluciones · Ejercicios propuestos VIII

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✓ Soluciones · Ejercicios propuestos IX

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10. Ejercicios extra

Ejercicios extra 1

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Ejercicios extra 2

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Ejercicios extra 3

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Ejercicios extra 4

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Ejercicios extra 5

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11. Exámenes de otros años

Examen de otro año 1

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Examen de otro año 2

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