Estadística II · 2.º Bachillerato
Temas 2 y 3 · Distribuciones de probabilidad
Distribuciones de variable discreta y continua: binomial, Poisson, normal y aproximación binomial-normal.
I. Variables discretas
2. Binomial
3. Poisson
II. Variables continuas
2. Normal
3. Aproximación binomial-normal
I. Distribuciones aleatorias de variable discreta
1. Variables aleatorias discretas
1.1. Introducción
Una variable aleatoria X es una función que asigna a cada suceso elemental del espacio muestral E un número real.
Ejemplos de variables aleatorias
- Resultado al lanzar un dado.
- Número de caras al lanzar tres veces una moneda.
- Número de llamadas que recibe un profesor en una tarde.
- Peso de una manzana.
- Tiempo que tarda un autobús en llegar a la parada.
toma valores aislados: número de hijos, coches que pasan, aciertos…
puede tomar cualquier valor de un intervalo: peso, tiempo, distancia…
1.2. Función de probabilidad
En una variable discreta, la función de probabilidad asigna a cada valor xi su probabilidad pi.
1.3. Parámetros de una distribución discreta
Ejemplo 1 · Dado equilibrado
Para X = resultado al lanzar un dado, E={1,2,3,4,5,6} y P(X=x)=1/6.
Ejemplo 2 · Número de hijos
P(X=0)=0,2; P(X=1)=0,4; P(X=2)=0,3; P(X=3)=0,1.
Problemas propuestos · distribuciones discretas
Problemas propuestos I
Una variable aleatoria discreta, X, se distribuye como se indica en la siguiente tabla
X 1 2 3 4 5
P(X = k) 0,2 0,3 0,25 m 0,15
a) Halla el valor de m
b) Calcula la media y la desviación típica de la variable
La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X es:
X 0 1 2 3 4 5
P(X = k) 0,01 0,2 m n 0,1 0,09
Calcula 𝑚 y 𝑛 si la media de 𝑋 es 2,45.
Un dado trucado tiene la distribución de probabilidad de la tabla. Halla el valor que
falta y la media y la desviación típica.
X= Puntuación 1 2 4 5 6
P(X = k) 0,1 0,12 0,2 0,3 0,15
Encuentra la media, la varianza y la desviación típica de las siguientes variables:
a) Número de caras al tirar dos monedas equilibradas
b) Puntuación obtenida al tirar un dado
c) Suma de las puntuaciones al tirar dos dados
Sea la variable aleatoria 𝑋 que cuenta el número de bolas blancas al sacar dos bolas,
sin reemplazamiento, de una urna con tres bolas blancas y dos rojas. Calcula su
función de probabilidad y su esperanza.
En una urna hay diez bolas numeradas con los números 1,1,2,3,3,3,4,5,5,6. Sacamos
una bola y anotamos el resultado. Elabora la distribución de probabilidad y calcula la
media y la desviación típica.
Extraemos, con reemplazamiento, dos cartas de una baraja y anotamos el número
de ASES.
a) ¿Cuáles son los posibles resultados?
b) ¿Cuál es la distribución de probabilidad?
c) Calcula la media y la desviación típica
La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por
esta tabla:
X𝑋 0 1 2 3 4
P(X = k) 0,1 a b c 0,2
Sabemos que 𝑃[𝑋 ≤ 2] = 0,7 y 𝑃[𝑋 ≥ 2] = 0,75. Halla los valores de 𝑎, 𝑏 y 𝑐 y calcula
la media y la varianza.
2. Distribución binomial
2.1. Definiciones previas
Factorial: n! = n(n−1)(n−2)…3·2·1, con 0!=1.
2.2. Distribución binomial
Se utiliza cuando se repite n veces un experimento independiente con dos resultados posibles y probabilidad de éxito constante p.
Ejemplo · Lanzamientos de un dado
Se lanza un dado 8 veces. Para contar cuántas veces aparece un 5: n=8, p=1/6.
Problemas propuestos · binomial
Problemas propuestos II
Un jugador de baloncesto tiene una probabilidad de 0.8 de encestar un tiro libre. Si
en un partido lanza 6 tiros libres, halla la probabilidad de que enceste:
a) Exactamente 4 tiros libres
b) Al menos 4 tiros libres
c) Ninguno de ellos
d) Alguno de ellos
Se ha desarrollado una variedad de soja con una tasa de germinación del 90%. Se
plantan diez de estas semillas en suelos de igual composición. Calcula la probabilidad
de que:
a) Germinen 9 semillas
b) Germinen entre 8 y 10 semillas
c) Germinen como máximo 8 semillas
Un prestigioso Instituto de Investigación envía invitaciones para una conferencia y
se sabe que generalmente asisten un 60% de los invitados. Si se eligen al azar 15
invitados, calcula la probabilidad de que:
a) Asistan todos a la conferencia
b) Ninguno de ellos asista a la conferencia
c) A lo sumo 1 acuda a la conferencia
d) Al menos asista 1 invitado.
En un laboratorio de análisis clínicos saben que el 98% de las pruebas de diabetes
que realizan resultan negativas. Si han recibido 10 muestras para analizar:
a) Determina la probabilidad de que haya dos personas a las que la prueba les dé
resultado positivo
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la prueba resulte positiva a más de una persona?
Se sabe que la probabilidad de que un dardo impacte en una diana es 0,4. Si se lanzan
9 dardos, determina:
a) Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria que cuenta el número de
dardos que dan en la diana.
b) La media y la desviación típica de esta distribución.
c) La probabilidad de que al menos 5 dardos impacten en la diana.
La probabilidad de que un individuo elegido al azar tenga problemas dermatológicos
es de 0,15. Dada una muestra de 50 personas,
a) ¿cuál es la probabilidad de que ninguna tenga problemas dermatológicos?
b) ¿cuál es la probabilidad de que al menos cuatro tengan problemas
dermatológicos?
La probabilidad de dar en el blanco de una diana es de 2/5. Consideramos la variable
L
aleatoria 𝑋 = "número de blancos conseguidos en 8 tiradas"
a) ¿Qué tipo de distribución sigue la variable aleatoria 𝑋?
b) Calcula la media y la desviación típica de 𝑋
c) ¿Cuál es la probabilidad de acertar más de tres veces en el blanco?
En un laboratorio de análisis clínicos, el 5% de las muestras que llegan no cumplen las
condiciones requeridas para obtener resultados concluyentes en el análisis. Si se
eligen 5 muestras, calcula:
a) La probabilidad de que de todas las muestras se puedan obtener resultados
concluyentes.
b) La probabilidad de que de al menos dos no se obtengan resultados concluyentes.
c) La media y la desviación típica de la distribución.
En un centro de fertilidad, cada intento de inseminación in vitro para cualquier pareja
tiene un porcentaje de éxito del 30 %. Esta semana han acudido 10 parejas para
realizar el tratamiento. Nos preguntamos por el número de ellas que consiguen tener
hijos.
a) ¿De qué tipo de distribución se trata? Calcular su media y su desviación.
b) ¿Qué probabilidad hay de que ninguna pareja conciba? ¿y de que alguna conciba?
Un examen tipo test tiene 10 preguntas con cuatro respuestas cada una. Si un alumno
responde aleatoriamente y hace falta un 6 para aprobar, ¿cuál es la probabilidad de
que apruebe?
Todos los jugadores de un equipo de fútbol A tienen la misma probabilidad de marcar
un penalti, 0.85. Al final del partido, en la tanda de penaltis, cada equipo tira cinco,
y sabemos que el equipo contrario B ha marcado tres:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que haya ganado el equipo A tras estos cinco
lanzamientos? ¿Y el B?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que queden empatados y haya que lanzar un sexto
penalti?
c) Calcula la probabilidad de que el equipo A falle todos los penaltis. Halla también
la de que los meta todos.
La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 6 meses
es del 20 %. Si en un acuario tenemos 15 peces de esta especie nacidos este mes,
halla la probabilidad de que al menos 2 de ellos sigan vivos dentro de 6 meses.
Una fábrica de baterías para móviles ha detectado que una de sus máquinas produce
un 10 % de baterías defectuosas. Si se han seleccionado al azar y de forma
independiente 6 baterías:
a) Calcula la probabilidad de que exactamente cuatro baterías sean defectuosas.
¿Cuál es la probabilidad de que como máximo la mitad sean defectuosas?
b) ¿Qué es más probable que ninguna sea defectuosa o que lo sean las seis?
La probabilidad de que un coche de carreras sufra un reventón en un neumático
durante una competición es de 0.04. En una competición en la que participan 10
coches:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan 2 reventones?
b) Se afirma que existe como mucho un 1% de posibilidades de que ocurran más de
2 reventones durante la carrera. ¿Es cierta esta afirmación? Justifícalo.
El 30% de un determinado pueblo ve un concurso que hay en televisión. Desde el
concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo elegidas al azar. Calcular la
probabilidad de que, entre las 10 personas, estuvieran viendo el programa:
a) Más de ocho personas
b) Alguna de las diez personas
c) Calcula la media y desviación típica
Una empresa de marketing ha lanzado una campaña publicitaria para promocionar un
nuevo servicio de energía solar para hogares. Según estudios previos, se estima que
el 20% de las personas que ven el anuncio terminan contratando el servicio. Para
analizar más en profundidad la efectividad de la campaña, seleccionan aleatoriamente
a 20 personas que han visto el anuncio.
a) Calcula la probabilidad de que exactamente 10 personas contraten el servicio.
b) Determina la probabilidad de que al menos 2 personas contraten el servicio.
c) Determina el valor esperado del número de personas que contratarán el servicio
de entre las seleccionadas.
d) ¿Cuántas personas, de entre las que han visto el anuncio, se deberían seleccionar
para que el número esperado de personas que contraten el servicio sea mayor o
igual a 13?
Eva es saltadora de longitud, y en el 80% de sus saltos consigue superar los 6m.
Sabiendo que en una competición tiene que saltar cuatro veces, halla la probabilidad
de que:
a) En todas supere los 6 metros.
b) No lo supere en ninguna
c) Al menos lo haga en dos ocasiones
d) Si su primera ocasión fue nulo, supere los 6 m en, al menos, una ocasión.
Un tratamiento experimental para tratar una determinada intolerancia alimentaria
mejora al 60% de los pacientes a los que se les suministra. Cinco pacientes deciden
someterse a dicho tratamiento.
a) Indica la distribución que sigue la variable “número de pacientes de entre los 5
que mejoran con este tratamiento”. ¿Cuál es la probabilidad de que mejoren
cuatro pacientes gracias al tratamiento?
b) Calcula la probabilidad de que al menos dos pacientes experimenten mejoría tras
someterse al tratamiento.
c) ¿Cuántos pacientes se espera que mejoren al someterse a ese tratamiento?
d) ¿Cuántos pacientes deberían someterse al tratamiento para que el número
esperado de pacientes que mejoren sea mayor o igual a 12?
El albinismo es un carácter genético recesivo: en un matrimonio en que los dos portan
el gen pero no lo manifiestan, los hijos serán albinos con una probabilidad de 0,25. Si
un matrimonio tiene 4 hijos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos de ellos sean albinos?
b) ¿Cuál es el número esperado de hijos albinos?
c) ¿Cuál es el número más probable de hijos albinos?
Una epidemia de gripe afecta al 20% de la población. La cadena Pizzaguay tiene
establecimientos con plantillas muy reducidas que no pueden funcionar si hay más de
una baja. En una determinada plantilla de esta cadena, hay 10 trabajadores. ¿Cuál es
la probabilidad de que la plantilla no pueda funcionar a causa de la gripe?
Una de cada doce revisiones de vehículos es evaluada como “no apta”. A lo largo de
un día se revisan 35 vehículos. Calcula la probabilidad de que:
a) Exactamente 3 hayan sido evaluadas como “no apta”.
b) Ninguna haya sido evaluada como “no apta”
c) Al menos 5 hayan sido evaluadas como “apta”
En una clase de 2º Bachillerato hay igual número de chicos que de chicas. Si se eligen
6 personas al azar de este grupo, calcula la probabilidad de que:
a) Haya al menos tres chicos
b) No haya ninguna chica
c) Haya exactamente tres chicas.
d) ¿Cuál es el número de alumnos debe haber en clase para que, al elegir una muestra
de n alumnos, se espera que haya al menos 13 chicos?
Una nueva vacuna contra la gripe se ha mostrado eficaz en el 70% de los casos. Un
grupo de 6 estudiantes decide vacunarse.
a) Indica la distribución que sigue la variable “número de personas que desarrollan
inmunidad”
b) Calcula la probabilidad de que exactamente 5 de los 6 pacientes desarrollen
inmunidad.
c) ¿Cuántos pacientes se espera que desarrollen inmunidad?
d) ¿Cuántos pacientes deberían vacunarse para que el número esperado de
inmunizados sea mayor o igual que 16?
En una campaña publicitaria por Internet, se estima que el 35% de los usuarios que
ven el anuncio hacen clic en él. El anuncio se muestra a 10 personas independientes.
a) Indica qué tipo de distribución sigue la variable “número de usuarios que hacen
clic”
b) Calcula la probabilidad de que exactamente 3 usuarios hagan clic.
c) Calcula la probabilidad de que al menos la mitad hagan clic
d) ¿Cuál es el número medio de clics que se espera obtener? ¿Cuál es el número más
probable de clics que se espera obtener?
e) ¿Cuántos usuarios deberían ver el anuncio para que el número de clics esperado
sea superior a 25?
3. Distribución de Poisson
Modeliza el número de sucesos que ocurren en un intervalo cuando se conoce el número medio λ de sucesos.
Ejemplo · Llegada de autobuses
Llegan por término medio 3 autobuses por hora. Para una hora, λ=3.
Problemas propuestos · Poisson
Problemas propuestos III
Un servicio dedicado a la reparación de electrodomésticos recibe por término medio
15 llamadas diarias. Determina la probabilidad de que reciba un día más de 20
llamadas.
En una oficina reciben, por término, medio, 2 llamadas por hora. Sea X el número de
llamadas en una hora.
a) Calcula 𝑃[𝑋 = 0] Y 𝑃[𝑋 = 3]
b) Calcula la probabilidad de recibir, al menos, una llamada
A una estación de autobuses llegan, en promedio, 5 autobuses cada hora.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en media hora lleguen exactamente 2 autobuses?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que en media hora no llegue ninguno?
En una página de un libro se cometen, por término medio, 0.1 errores. Sea X el número
de errores en una página.
a) Calcula la probabilidad de que no haya ningún error en una página.
b) Calcula la probabilidad de que haya dos o más errores.
Un usuario recibe una media de 3 mensajes por hora.
a) Calcula la probabilidad de que en una hora reciba menos de dos mensajes
b) Calcula la probabilidad de que en dos horas reciba exactamente 5 mensajes.
En una carretera ocurren, por término medio, 2 accidente al mes.
a) Calcula la probabilidad de que en un mes haya exactamente 3 accidentes
b) Calcula la probabilidad de que en tres meses haya más de 6 accidentes
consecutivos.
Una fábrica detecta una media de tres defectos por cada 10 metros de tela.
a) Calcula la probabilidad de que en 10 metros no aparezca ningún defecto
b) Calcula la probabilidad de que en 30 metros aparezcan exactamente 8 defectos
c) Calcula el número esperado de defectos en 50 metros de tela. ¿Cuánto vale la
desviación típica?
En una estación de montaña se observa que la probabilidad de que no llueva ningún día
en una semana es 0,122. Suponemos que la variable “número de días que llueve a la
semana” es una Poisson.
a) Calcula el valor de 𝜆
b) Usando el valor anterior, halla la probabilidad de que llueva exactamente 3 días
en una semana.
c) Calcula el número esperado de días de lluvia en un mes (supón que son 4 semanas)
En un hospital, la probabilidad de que no llegue ningún paciente en una hora es 0,05.
Supón que el número de pacientes por hora sigue una distribución Poisson.
a) Determina el valor de 𝜆
b) Calcula la probabilidad de que lleguen exactamente tres pacientes en una hora.
c) Calcula la probabilidad de que lleguen, al menos, 5 pacientes en una hora
d) ¿Cuántos pacientes se espera que lleguen en un turno de 8 horas?
Una compañía telefónica recibe llamadas a razón de 4 por minuto. calcular la
probabilidad de:
a) Recibir 2 llamadas en un minuto
b) No recibir ninguna llamada en un minuto
c) Recibir menos de 3 llamadas en un minuto
d) Recibir más de 3 llamadas en un minuto
En la zona que rodea un punto kilométrico de una autovía hay una población de erizos.
Se ha realizado un estudio por el que se ha deducido que los erizos cruzan la autovía
a razón de 1 cada 20 minutos. Calcula la probabilidad de que 4 erizos crucen la autovía
en una hora.
II. Distribuciones de probabilidad de variable continua
1. Variables aleatorias continuas
1.1. Introducción
Una variable continua puede tomar cualquier valor de un intervalo. En este caso, la probabilidad de un punto concreto es cero: P(X=x)=0.
1.2. Función de densidad y función de distribución
Las probabilidades se calculan mediante áreas bajo la función de densidad f(x). La función de distribución acumula la probabilidad hasta x.
1.3. Parámetros de una distribución continua
Ejemplo · Tiempo de reacción
Para una densidad dada, primero se comprueba que el área total es 1; después la media y la varianza se obtienen integrando x·f(x) y x²·f(x), respectivamente.
Ejemplo · Nivel de llenado de una máquina
Si la densidad contiene una constante k, se determina imponiendo que el área total bajo la curva sea 1. A partir de ahí se calculan media, desviación típica y probabilidades mediante integrales.
Problemas propuestos · variables continuas
Problemas propuestos IV
Una variable aleatoria continua, X, tiene la siguiente función de densidad
1
𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 6
𝑓(𝑥) = {5
0, en otro caso
a) Comprueba que es una función de densidad
b) Calcula 𝑃[𝑋 = 3]
c) Calcula 𝑃[2 < 𝑋 < 4]
d) Calcula 𝑃[𝑋 > 5]
Sea X una variable aleatoria continua uniformemente distribuida en el intervalo
[0,10], cuya función de densidad es
1
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 10
𝑓(𝑥) = { 10
0, en otro caso
a) Calcula 𝑃[𝑋 < 2]
b) Calcula 𝑃[6 ≤ 𝑋 < 8]
c) Halla la media y la varianza de la variable.
Sea 𝑋 una variable aleatoria continua con función de densidad
𝑘𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑓(𝑥) = {
0, en otro caso
a) Calcula el valor de k
b) Halla 𝑃[𝑋 ≥ 1,5]
c) Calcula 𝑃[1 < 𝑋 < 2]
Sea 𝑋 una variable aleatoria con función de densidad
𝑘 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑓(𝑥) = {2𝑘 𝑠𝑖 1 < 𝑥 ≤ 2
0 en otro caso
a) Calcula k
b) Calcula 𝑃[𝑋 < 1]
c) Calcula 𝑃[𝑋 > 1]
Sea X una variable aleatoria con función de densidad
2𝑥 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑓(𝑥) = {
0, en otro caso
a) Calcula la función de distribución de X
b) Calcula 𝑃[𝑋 ≥ 0,5]
c) Halla 𝑃[0,25 < 𝑥 < 0,75]
Se conoce la función de distribución de X:
0 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝐹(𝑥) = {𝑥 2
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 𝑠𝑖 𝑥 > 1
a) Calcula 𝑃[𝑋 < 0,4]
b) Calcula 𝑃[0,2 ≤ 𝑋 ≤ 0,6]
c) Calcula 𝑃[𝑋 > 0,8]
Considera la variable aleatoria X cuya función de densidad es
1
𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 ≤ 8
𝑓(𝑥) = {6
0, en otro caso
a) Calcula la media
b) Calcula la varianza
Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad
𝑘 (1 − 𝑥) 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
𝑓(𝑥) = {
0, en otro caso
a) Calcula k
b) Halla la función de distribución
c) Calcula 𝑃[𝑋 < 0,3]
d) Calcula la media y la desviación típica
La función de distribución de una variable aleatoria continua X es
0 𝑠𝑖 𝑥 < 0
𝑓(𝑥) = {𝑘𝑥 3 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 ≤ 1
1 𝑠𝑖 𝑥 > 1
a) Determina el valor de k
b) Halla la función de densidad
c) Calcula 𝑃[0,4 < 𝑋 < 0,8]
d) Calcula la media
La longitud (en cm) de una pieza fabricada se modeliza mediante la densidad
𝑘(10 − 𝑥) 𝑠𝑖 8 ≤ 𝑥 ≤ 10
𝑓(𝑥) = {
0, en otro caso
a) Determina k
b) Calcula la probabilidad de que la pieza mide menos de 9cm
c) Calcula la longitud media de las piezas
El volumen (en litros) de refresco en botellas de una determinada embotelladora
sigue la densidad
𝑘 (𝑥 − 1) 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 ≤ 3
𝑓(𝑥) = {
0, en otro caso
a) Halla el valor de k
b) Calcula 𝑃[1,5 < 𝑋 ≤ 2,5]
c) Halla la media y la desviación típica
2. Distribución normal
2.1. Normal estándar
La normal estándar tiene media 0 y desviación típica 1.
Por simetría, las probabilidades a ambos lados de 0 se relacionan mediante P(Z<−a)=P(Z>a). En variables continuas es indiferente usar < o ≤ en un extremo puntual.
Ejemplos · uso de la tabla N(0,1)
La tabla proporciona probabilidades acumuladas P(Z≤z). Para valores negativos se usa la simetría; para intervalos se restan probabilidades acumuladas.
Problemas propuestos · normal estándar
Problemas propuestos V
Sea 𝑍~𝑁(0,1)
a) Calcula 𝑃[𝑍 = −0,85] e) Calcula 𝑃[−0,85 < 𝑍 < 0,85]
b) Calcula 𝑃[𝑍 < 0,85] f) Calcula 𝑃[𝑍 < −1,4]
c) Calcula 𝑃[𝑍 > −0,85] g) Calcula 𝑃[𝑍 ≥ 1,4]
d) Calcula 𝑃[0,85 ≤ 𝑍 < 1,4] h) Calcula 𝑃[−1,4 < 𝑍 ≤ 1,4]
Sea 𝑍~𝑁(0,1)
a) Halla el valor a tal que 𝑃[𝑍 < 𝑎] = 0,9
b) Halla el valor b tal que 𝑃[𝑍 > 𝑏] = 0,975
c) Halla el valor c tal que 𝑃[𝑍 > 𝑐] = 0,05
d) Halla el intervalo que contiene al 80% de probabilidad
e) Halla el intervalo que contiene al 90% de probabilidad
Problemas propuestos · normal general
Problemas propuestos VII
Sea 𝑋~𝑁(50,10)
a) Calcula 𝑃[𝑋 = 50] d) Calcula 𝑃[45 ≤ 𝑋 < 55]
b) Calcula 𝑃[𝑋 ≤ 60] e) Calcula 𝑃[30 < 𝑋 < 70]
c) Calcula 𝑃[𝑋 > 40] f) Calcula 𝑃[𝑋 ≥ 70]
Sea 𝑋~𝑁(70, 5)
a) Calcula 𝑃[𝑋 < 65]
b) Calcula 𝑃[𝑋 > 80]
c) Calcula 𝑃[60 < 𝑋 < 75]
d) Halla el valor x tal que 𝑃[𝑋 < 𝑥] = 0,84
e) Halla el valor y tal que 𝑃[𝑋 > 𝑦] = 0,1
f) Halla el intervalo centrado en la media que contiene el 95% de los valores.
La altura en centímetros de una cierta especia de planta sigue una distribución normal
con media 120 cm y desviación típica 10 cm.
a) Calcula la probabilidad de que una planta mida menos de 110 cm.
b) Calcula la probabilidad de que mida más de 135 cm.
c) Calcula la probabilidad de que su altura esté entre 110 cm y 130 cm.
El tiempo de reacción, en segundos, de un conductor sigue una distribución normal
con media 0,8 segundos y desviación típica 0,1 segundos.
a) Calcula la probabilidad de que el tiempo de reacción sea inferior a 0,7 segundos.
b) Calcula la probabilidad de que el tiempo de reacción esté entre 0,75 y 0,9
segundos.
El consumo diario (en kWh) de una vivienda sigue una distribución normal con media
18 kWh y varianza 16 kWh2 .
a) Calcula la probabilidad de que un día el consumo sea inferior a 12 kWh
b) Calcula la probabilidad de que en un día el consumo sea superior a 25 kWh
c) Calcula la probabilidad de que el consumo esté entre 15 y 22 kWh
La altura de los individuos de una población sigue una distribución normal de media
175 cm y desviación típica 4 cm.
a) Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar mida más de 170 cm.
b) Calcula qué porcentaje de la población mide entre 170 y 185 cm.
c) Calcula la altura máxima que es superada por el 33 % de la población.
La edad de los habitantes de cierta ciudad se distribuye normalmente, con una media
de 40 años. Se sabe además que el 2,28 % de los habitantes de esa ciudad tiene más
de 60 años.
a) Calcula la desviación típica de la distribución.
b) Si la edad de la población siguiera una distribución N(40,10), calcula el porcentaje
de habitantes con menos de 35 años.
El peso de los estudiantes de determinada localidad sigue una distribución Normal
de media 75 kg y varianza 36 2 kg.
a) Calcula el porcentaje de alumnado cuyo peso está comprendido entre 68 y 80 kg.
b) Si se sabe que uno de los estudiantes pesa más de 76 kg, ¿cuál es la probabilidad
de que pese más de 80 kg?
El peso de las lubinas vendidas en una cadena de hipermercados sigue una distribución
normal de media 6706 gramos. Sabiendo que el 20 % de las lubinas pesan más de
7386 gramos, calcula el porcentaje de lubinas que pesan entre 6 y 8 kg.
El peso de una población de elefantes africanos macho sigue una distribución normal
de media 6 toneladas y desviación típica 1500 kg.
a) Calcule la probabilidad de que un individuo elegido al azar pese exactamente 6
toneladas.
b) Calcule qué porcentaje de la población pesa entre 5 y 8 toneladas.
c) Calcule qué peso es superado por el 33 % de la población
Estudios realizados en un cierto país demuestran que el consumo de gasolina en autos
compactos está normalmente distribuido, con una media de 6 litros por cada 100 km
y una desviación estándar de 1, 2 litros por cada 100 km.
a) Calcula el porcentaje de autos compactos que gasta 7 o más litros cada 100 km.
b) Calcula el número máximo de litros por cada 100 km que debe consumir un auto
compacto si el fabricante quiere que supere en economía de combustible al 95 %
de los que hay actualmente en el mercado.
La altura de un cierto tipo de plantas de maíz sigue una distribución Normal de media
145 cm y desviación típica de 22 cm.
a) ¿Qué porcentaje de plantas tiene una altura comprendida entre 135 cm y 155
cm?
b) ¿Qué altura, como mínimo, debe tener una planta para estar entre el 50% de las
más altas?
Suponiendo que el tiempo de espera en la cola de correos sigue una distribución
normal de media 7’5 minutos con 2 minutos de desviación típica.
a) Hallar el porcentaje de personas que esperan más de 9 minutos.
b) Correos afirma que: “Menos del 40% de las personas que acuden a Correos
esperan entre 7 y 10 minutos”. ¿Es correcta la afirmación?
Sabiendo que el peso de los estudiantes varones de 2º de Bachillerato se puede
aproximar por una variable aleatoria con distribución normal, de media 74 kg y
desviación típica 6 kg, se pide:
a) Determinar el porcentaje de estudiantes varones cuyo peso está comprendido
entre los 68 y 80 kg.
b) Estimar cuántos de los 1500 estudiantes varones que se han presentado a la PAU
en una cierta universidad, pesan más de 80 kg.
c) Si se sabe que uno de estos estudiantes pesa más de 76 kg, ¿cuál es la
probabilidad de que pese más de 86 kg?
La puntuación obtenida en un test de razonamiento abstracto por los alumnos de una
escuela sigue una distribución normal con media 85 puntos y desviación típica 10
puntos.
a) ¿Qué porcentaje de alumnos obtendrá una puntuación entre 80 y 95 puntos?
b) Si se presentan 1200 alumnos, ¿cuántos se espera que superen los 100 puntos?
c) Sabiendo que un alumno ha obtenido más de 90 puntos, ¿cuál es la probabilidad
de que su puntuación supere los 100 puntos?
Los rodamientos de las ruedas de un coche se configuran con unas bolas cuyos
diámetros siguen una distribución normal de media 13 mm y desviación típica 0,1 mm.
Para que el funcionamiento del rodamiento sea óptimo el diámetro debe estar entre
12,9 mm y 13,15 mm. No obstante, la máquina que los elabora es muy sensible a los
cambios de temperatura y pierde eficacia cuando ésta sube considerablemente. El
15 de julio, tras una rotura del sistema de refrigeración, la máquina configura bolas
cuyos diámetros siguen una distribución normal de media 12,9 mm y desviación típica
0,2 mm.
a) En circunstancias ideales, ¿cuál es la probabilidad de que la máquina elabore
piezas con rodamiento óptimo?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el 15 de julio la máquina elabore piezas con
rodamiento óptimo?
El peso de las manzanas producidas en una granja sigue una distribución normal de
media 200 gramos y desviación típica desconocida.
a) Si el 33% de las manzanas pesan más de 230 gramos, calcula la desviación típica
del peso de las manzanas.
b) Si la desviación típica es de 50 gramos, calcula el porcentaje de manzanas que
pesan entre 160 y 220 gramos.
La velocidad máxima a la que puede circular un vehículo sobre un determinado puente
del río Guadalete es de 70 km/h.
a) En uno de los sentidos de circulación, la velocidad de los vehículos sigue una
distribución normal de media 64 km/h y desviación típica 4 km/h. Si el radar de
control salta a partir de 72 km/h, ¿cuál es el porcentaje de vehículos que se
sancionan.
b) En el sentido contrario, también sigue una distribución normal de la que sabemos
que la velocidad media es de 63’6 km/h y que el 5’05% de todos los vehículos viaja
a más de 80 km/h. En este caso, ¿cuánto vale la desviación típica?
La edad X de los habitantes de una cierta ciudad se distribuye normalmente con
media 42 años. Se sabe que el 10% de los habitantes tiene más de 60 años.
a) Calcula la desviación típica
b) Calcula el porcentaje de habitantes con menos de 35 años
c) Halla la edad k tal que el 25% de la población tiene menos de k años
d) Halla la edad mínima para estar en el 5% más mayor.
El peso X de un grupo de estudiantes sigue una distribución 𝑁(𝜇, 6). Se sabe que el
20% pesa más de 80 kg.
a) Calcula 𝜇
b) Calcula 𝑃[68 < 𝑋 < 78]
c) Calcula 𝑃[𝑋 > 90]
d) Sabiendo que un estudiante pesa más de 76 kg, calcula la probabilidad de que
pese más de 84 kg.
e) Determine el intervalo centrado en 𝜇 que contiene el 90% de los pesos.
El diámetro X (en mm) de unas piezas se modeliza con una distribución normal 𝑁(𝜇, 𝜎).
Se sabe que
𝑃[𝑋 < 19,6] = 0,05 𝑃[𝑋 < 20,4] = 0,95
a) Calcula 𝜇 y 𝜎
b) Calcula la probabilidad de que una pieza sea menor que 19,7 mm o mayor que 20,3
mm
El consumo X (𝐿⁄100 𝑘𝑚) de coches compactos sigue una distribución normal 𝑁(6, 𝜎).
Se sabe que el 15% de los coches consume más de 7,1 L/ 100 km.
a) Calcula 𝜎
b) Calcula la probabilidad de que un coche aleatorio consuma entre 5 y 7 litros cada
100 kilómetros.
c) Halla el valor de c tal que el 10% de los coches consume menos de c
d) Calcula la probabilidad de que un coche consuma más de 7 litros cada 100 km,
sabiendo que el consumo es mayor que 6,5 L/100 km.
3. Aproximación de la binomial por la normal
Cuando n es suficientemente grande, una binomial puede aproximarse por una normal con la misma media y desviación típica.
Antes de aproximar se comprueba que np≥5 y n(1−p)≥5. Se aplica la corrección de continuidad de 0,5 unidades.
Ejemplo · Tornillos defectuosos
Si X~B(500,0,04), entonces μ=20 y σ=√19,2. Para «al menos 30» se usa la corrección P(X≥30)≈P(Y>29,5) y después se tipifica.
Problemas propuestos · aproximación binomial-normal
Problemas propuestos VI
La variedad de naranjas Navel se suele dedicar a naranja de mesa por su tamaño y
aspecto. Pero aquellas que no cumplen con los estándares de calidad exigidos, son
utilizadas para hacer zumo. En una finca, una de cada tres naranjas de la variedad
Navel recolectadas se destina a hacer zumo. Si se elige un cargamento de 90 naranjas
de esa finca, calcula la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 que se
destinen a hacer zumo.
La probabilidad de que un pez de una determinada especie sobreviva más de 6 meses
es del 20 %. Se pide:
a) Si en un acuario tenemos 15 peces de esta especie nacidos este mes, halla la
probabilidad de que al menos 2 de ellos sigan vivos dentro de 6 meses.
b) Si en un tanque de una piscifactoría hay 300 peces de esta especie nacidos este
mismo mes, halla la probabilidad de que al cabo de 6 meses hayan sobrevivido al
menos 50 de ellos.
Un modelo de avión tiene capacidad para 260 pasajeros. Sin embargo, la compañía
aérea a la que pertenece ha decidido vender más billetes que asientos hay en el avión.
La probabilidad de que un pasajero se presente en el aeropuerto el día del vuelo es
del 95 %. Si ese día la compañía ha vendido 280 billetes, ¿cuál es la probabilidad de
que ese día se presenten al menos 270 pasajeros?
La probabilidad de que un coche de carreras sufra un reventón en un neumático
durante una competición es de 0.04. En una competición en la que participan 10
coches:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que se produzcan 2 reventones?
b) Se afirma que existe como mucho un 1% de posibilidades de que ocurran más de
2 reventones durante la carrera. ¿Es cierta esta afirmación? Justifícalo.
c) Estudiamos las competiciones realizadas en una temporada con un total de 250
coches ¿qué probabilidad hay de que se produzcan más de 12 reventones en total?
(Suponiendo la independencia de los sucesos)
Se ha comprobado que, al aplicar un determinado medicamento, la probabilidad de
que elimine el acné a un paciente es del 80 %. Suponiendo independencia de sucesos.
a) Si se lo toman 100 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el medicamento
actúe con más de 75 pacientes?
b) Si se lo toman 225 pacientes. ¿Cuál es la probabilidad de que el medicamento
actúe entre 170 y 190 pacientes?
c) ¿Cuál es el número esperado de pacientes sobre los que NO se eliminará el acné
si se toman el medicamento 500 pacientes?
Se lanza una moneda 100 veces y se cuenta el número de veces que aparece cara.
Calcula la probabilidad de que se obtengan, como máximo, 60 caras.
En una plantación, el 35% de las fresas recolectadas no cumple los estándares para
venta directa y se destina a mermelada.
a) En un lote de 10 fresas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 4 de ellas
se destinen a mermerlada?
b) En un lote de 200 fresas, calcula la probabilidad de que al menos 80 de ellos se
destinen a mermelada.
Una máquina produce piezas defectuosas con probabilidad 0,08. Durante un turno se
fabrican 400 piezas. Calcula la probabilidad de que haya entre 25 y 45 piezas
defectuosas.
En una población, el 52% de los ciudadanos votaría a un determinado partido político.
Se realiza una encuesta a 600 personas. Calcula la probabilidad de que más de 330
personas declaren que votarían a ese partido.
Una vacuna es eficaz en el 96% de los casos. Se vacuna a 500 personas. Calcula la
probabilidad de que, como mucho, 15 personas no queden protegidas.
En una fábrica se producen tornillos cuyo diámetro, X, medido en milímetros, se
modeliza mediante una distribución normal con media 𝜇 = 8 𝑚𝑚 y desviación típica
𝜎 = 0,1 𝑚𝑚.
a) Calcula la probabilidad de que un tornillo elegido al azar sea defectuoso
b) En un control de calidad se inspeccionan 400 tornillos. Calcula la probabilidad de
que en el lote haya, a lo sumo, 25 tornillos defectuosos.
Examen de Selectividad 2024
Examen de Selectividad 2025
Tutor socrático
Utiliza el tutor para recibir preguntas y pistas durante la resolución de los problemas.
No hay comentarios:
Publicar un comentario