Geometría · Pitágoras, áreas y volúmenes
3.º ESO · Teoría esencial y ejemplos paso a paso.
1. Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, los lados que forman el ángulo de 90° se llaman catetos. El lado opuesto a ese ángulo se llama hipotenusa y es el más largo.
El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
c² = a² + b²
Para calcular la hipotenusa:
c = √(a² + b²)
Para calcular un cateto:
a = √(c² − b²)
Antes de operar: comprueba que el triángulo es rectángulo e identifica la hipotenusa.
Dentro de la raíz, sumamos si buscamos la hipotenusa y restamos si buscamos un cateto.
Cuatro ejemplos explicativos
Ejemplo 1 · Calcular la hipotenusa
Un triángulo rectángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. Calcula su hipotenusa.
1. Identificamos los datos: conocemos los dos catetos y buscamos c.
2. Aplicamos el teorema:
c² = 6² + 8²
c² = 36 + 64
c² = 100
3. Calculamos la raíz positiva: una longitud no puede ser negativa.
c = √100
c = 10 cm
4. Comprobamos:
10² = 6² + 8²
100 = 36 + 64
100 = 100 ✓
La hipotenusa mide 10 cm. Es mayor que cualquiera de los catetos.
Ejemplo 2 · Calcular un cateto
La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 13 cm y un cateto mide 5 cm. Calcula el otro cateto.
1. Identificamos la hipotenusa: c = 13 cm. Llamamos a al cateto desconocido.
2. Sustituimos y despejamos:
13² = a² + 5²
169 = a² + 25
a² = 169 − 25
a² = 144
3. Calculamos la longitud:
a = √144
a = 12 cm
4. Comprobamos:
13² = 12² + 5²
169 = 144 + 25
169 = 169 ✓
El otro cateto mide 12 cm.
Ejemplo 3 · Diagonal de un rectángulo
Un rectángulo tiene lados de 9 cm y 12 cm. Calcula su diagonal.
1. Localizamos el triángulo rectángulo: la diagonal divide el rectángulo en dos triángulos rectángulos. Los lados del rectángulo son los catetos y la diagonal es la hipotenusa.
2. Aplicamos Pitágoras:
d² = 9² + 12²
d² = 81 + 144
d² = 225
d = √225
d = 15 cm
3. Comprobamos:
15² = 9² + 12²
225 = 81 + 144 ✓
La diagonal mide 15 cm.
Ejemplo 4 · Altura y área de un triángulo isósceles
Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales de 10 cm y una base de 12 cm. Calcula su altura y su área.
1. Trazamos la altura desde el vértice hasta la base. En un triángulo isósceles, esta altura divide la base en dos partes iguales y forma dos triángulos rectángulos.
Mitad de la base = 12 : 2 = 6 cm
2. Identificamos los lados: en cada triángulo rectángulo la hipotenusa mide 10 cm y los catetos son 6 cm y la altura h.
3. Calculamos la altura:
10² = h² + 6²
100 = h² + 36
h² = 100 − 36
h² = 64
h = √64
h = 8 cm
4. Calculamos el área usando la base completa:
A = (base · altura) / 2
A = (12 · 8) / 2
A = 96 / 2
A = 48 cm²
La altura mide 8 cm y el área es 48 cm².
Ejercicios propuestos I · Teorema de Pitágoras
Identifica la hipotenusa y los catetos antes de aplicar la fórmula. Incluye las unidades y comprueba que el resultado sea razonable.
Abrir ejercicios propuestos I2. Áreas de figuras planas
El perímetro mide el contorno de una figura y se expresa en unidades de longitud: cm, m…
El área mide su superficie y se expresa en unidades cuadradas: cm², m²…
Circunferencia y círculo no son lo mismo: la circunferencia es el borde; el círculo es la superficie interior.
El cuadrado y el pentágono regular son polígonos regulares. Las fórmulas del triángulo y del rectángulo que repasamos sirven también aunque no sean polígonos regulares.
2.1. Circunferencia y círculo
El radio r une el centro con un punto de la circunferencia. El diámetro d pasa por el centro y mide el doble del radio.
d = 2 · r
Longitud de la circunferencia:
L = 2 · π · r = π · d
Área del círculo:
A = π · r²
Usa la tecla π de la calculadora y redondea al final. Si se indica trabajar con una aproximación, puedes tomar π ≈ 3,14.
2.2. Triángulo
A = (b · h) / 2
b: base elegida. h: altura perpendicular a esa base.
La fórmula sirve para cualquier triángulo. La altura no siempre coincide con uno de sus lados.
2.3. Cuadrado
A = l²
P = 4 · l
l: longitud del lado.
2.4. Rectángulo
A = b · h
P = 2 · (b + h)
b y h: longitudes de dos lados consecutivos.
2.5. Pentágono regular
Tiene cinco lados iguales y cinco ángulos iguales. Su apotema a es el segmento perpendicular que une el centro con el punto medio de un lado.
P = 5 · l
A = (P · a) / 2
P: perímetro. l: lado. a: apotema.
La fórmula A = (P · a) / 2 sirve para cualquier polígono regular.
Se obtiene al dividirlo en triángulos con vértice en el centro: sus bases suman el perímetro y todos tienen como altura la apotema.
- Expresa todas las longitudes en la misma unidad.
- Identifica la base y su altura perpendicular.
- Si falta una medida, comprueba si puedes obtenerla con Pitágoras.
- Escribe el resultado en unidades cuadradas.
Ejercicios propuestos II · Áreas de figuras planas
Selecciona la fórmula adecuada, sustituye los datos e indica las unidades. Distingue entre calcular el perímetro y calcular el área.
Abrir ejercicios propuestos II3. Volúmenes de cuerpos geométricos
El volumen mide el espacio que ocupa un cuerpo. Se expresa en unidades cúbicas: cm³, dm³, m³…
Usaremos B para el área de la base y h para la altura perpendicular.
Los cuerpos se representan en perspectiva. Las líneas discontinuas señalan elementos ocultos o auxiliares.
3.1. Prismas
Un prisma tiene dos bases poligonales iguales y paralelas. En un prisma recto, las caras laterales son rectángulos.
V = B · h
Primero calcula el área de la base según su forma y después multiplícala por la altura del prisma.
Si la base es un triángulo:
B = (b · altura del triángulo) / 2
Si la base es un pentágono regular:
B = (P · a) / 2
La altura de la base triangular y la altura del prisma son medidas distintas.
3.2. Pirámides
Una pirámide tiene una base poligonal y caras laterales triangulares que se unen en un vértice.
V = (B · h) / 3
Su volumen es la tercera parte del de un prisma con la misma área de base y la misma altura.
La altura de una pirámide es perpendicular a la base. No debes confundirla con una arista lateral ni con la apotema lateral, que discurre por una cara.
Si la base es regular, su apotema se usa para calcular B; no sustituye a la altura h de la pirámide.
3.3. Cilindros rectos
Un cilindro recto tiene dos bases circulares iguales y paralelas. Su altura es la distancia perpendicular entre las bases.
B = π · r²
V = B · h
V = π · r² · h
r: radio de la base. h: altura del cilindro.
- Expresa las longitudes en la misma unidad.
- Calcula el área de la base, no su perímetro.
- Usa la altura perpendicular del cuerpo.
- En una pirámide, recuerda dividir entre 3.
- Escribe el resultado en unidades cúbicas.
Volumen y capacidad
1 dm³ = 1 L
1 cm³ = 1 mL
1 m³ = 1000 L
Para pasar de una unidad cúbica a la siguiente más pequeña se multiplica por 1000. En unidades cuadradas, el factor es 100.
Ejercicios propuestos III · Volúmenes
Identifica el cuerpo y su base. Calcula primero el área de la base y después el volumen. Si se pide capacidad, convierte el resultado a litros o mililitros.
Abrir ejercicios propuestos III4. Situación de aprendizaje
Diseñamos un huerto escolar
El centro quiere preparar un huerto rectangular de 8 m de largo y 6 m de ancho. Para organizarlo, necesita calcular varias medidas.
Reto: elaborar una ficha con las medidas necesarias para instalar el huerto y su depósito de agua.
- La cuerda de comprobación. Se tenderá una cuerda entre dos vértices opuestos del huerto. ¿Cuánto debe medir para cubrir exactamente la diagonal? Dibuja el triángulo rectángulo que utilizas.
- La superficie. Calcula el área total del huerto y su perímetro. Explica qué mide cada resultado.
- El bancal. Dentro del huerto se construirá un bancal con forma de prisma rectangular de 3 m de largo, 2 m de ancho y 0,25 m de altura. ¿Qué volumen de tierra se necesita para llenarlo?
- El depósito. Se instalará un depósito cilíndrico de 0,5 m de radio interior y 1,2 m de altura interior útil. Calcula su capacidad máxima en m³ y en litros. Redondea los litros a la unidad.
- La revisión. Comprueba las unidades y explica por qué no se puede expresar el área del huerto en m³ ni el volumen del depósito en m².
Producto final: una ficha con un croquis, los datos, las fórmulas, las operaciones y una respuesta con unidades para cada apartado.
5. Soluciones de los ejercicios propuestos
✓ Soluciones ejercicios propuestos I · Pitágoras
Comprueba si has identificado correctamente la hipotenusa y si debías sumar o restar los cuadrados.
Ver soluciones de ejercicios propuestos I✓ Soluciones ejercicios propuestos II · Áreas
Revisa la fórmula elegida, la altura utilizada y las unidades cuadradas del resultado.
Ver soluciones de ejercicios propuestos II✓ Soluciones ejercicios propuestos III · Volúmenes
Revisa el área de la base, la altura perpendicular y las conversiones de volumen o capacidad.
Ver soluciones de ejercicios propuestos III🎓 Tutor Socrático · Practica con ayuda
Recibe preguntas y pistas progresivas para identificar los datos, elegir una fórmula y revisar tus operaciones, en lugar de obtener directamente la respuesta.
Puedes pedir ayuda con Pitágoras, áreas, volúmenes o cambios de unidades.
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