Tema 4. Fórmulas y funciones trigonométricas

Fórmulas trigonométricas, ecuaciones y funciones

1. Fórmulas trigonométricas

Vídeo. Introducción a las fórmulas trigonométricas

1.1. Razones trigonométricas de la suma de dos ángulos

sen(α+β)=sen α·cos β+cos α·sen β

cos(α+β)=cos α·cos β−sen α·sen β

tg(α+β)=(tg α+tg β)/(1−tg α·tg β)

Demostración de las fórmulas de la suma

La demostración del tema obtiene las componentes de la construcción geométrica mediante senos y cosenos. La suma de las componentes conduce a la fórmula del seno y la diferencia a la del coseno. Dividiendo ambas expresiones y simplificando por cos α·cos β se obtiene la tangente.

Ejemplo 1. Calcular sen 75°

sen75°=sen(30°+45°)=sen30°·cos45°+cos30°·sen45°

=1/2·√2/2+√3/2·√2/2=(√2+√6)/4

Ejemplo 2. Calcular cos 120°

cos120°=cos(90°+30°)=cos90°·cos30°−sen90°·sen30°=−1/2

1.2. Razones trigonométricas de la diferencia de dos ángulos

Sustituimos β por −β y usamos sen(−β)=−senβ y cos(−β)=cosβ.

sen(α−β)=sen α·cos β−cos α·sen β

cos(α−β)=cos α·cos β+sen α·sen β

tg(α−β)=(tg α−tg β)/(1+tg α·tg β)

1.3. Razones trigonométricas del ángulo doble

Haciendo β=α:

sen(2α)=2sen α·cos α

cos(2α)=cos²α−sen²α

tg(2α)=2tg α/(1−tg²α)

Ejercicios propuestos I

Demuestra la fórmula II.2 a partir de la fórmula:
cos(α+β)=cos α·cos β−sen α·sen β
Demuestra II.3 a partir de:
tg(α+β)=(tg α+tg β)/(1−tg α·tg β)
Demuestra la fórmula II.3 a partir de las siguientes:
sen(α−β)=sen α·cos β−cos α·sen β
cos(α−β)=cos α·cos β+sen α·sen β
Si sen 12°=0,2 y sen 37°=0,6, halla cos 12°, tg 12°, cos 37° y tg 37°. Calcula, a partir de ellas, las razones trigonométricas de 49° y de 25°, usando las fórmulas (I) y (II).
Demuestra esta igualdad:
[cos(a+b)+cos(a−b)]/[sen(a+b)+sen(a−b)]=1/tg a
Demuestra las fórmulas (III.1) y (III.3) haciendo α=β en las fórmulas (I).
Halla las razones trigonométricas de 60° usando las de 30°.
Halla las razones trigonométricas de 90° usando las de 45°.
Demuestra que:
(2 sen α−sen 2α)/(2 sen α+sen 2α)=(1−cos α)/(1+cos α)

1.4. Razones trigonométricas del ángulo mitad

Partiendo de cos(2α)=cos²α−sen²α y sen²α+cos²α=1:

sen(α/2)=√((1−cos α)/2)

cos(α/2)=√((1+cos α)/2)

tg(α/2)=√((1−cos α)/(1+cos α))

Ejemplo 3. Razones trigonométricas de 15°

sen15°=√((2−√3)/4)

cos15°=√((2+√3)/4)

tg15°=2−√3

Ejercicios propuestos II

Siguiendo las indicaciones que se dan, demuestra detalladamente las fórmulas IV.1, IV.2 y IV.3.
Sabiendo que cos 78°=0,2, calcula sen 78° y tg 78°. Averigua las razones trigonométricas de 39° aplicando las fórmulas del ángulo mitad.
Halla las razones trigonométricas de 30° a partir de cos 60°=0,5.
Halla las razones trigonométricas de 45° a partir de cos 90°=0.
Demuestra esta igualdad:
2 tg α·sen(α/2)+sen α=tg²α
Demuestra la siguiente igualdad:
(2 sen α−sen 2α)/(2 sen α+sen 2α)=tg²(α/2)

Vídeo. Ángulo mitad

1.5. Sumas y diferencias de senos y cosenos

sen A+sen B=2sen((A+B)/2)·cos((A−B)/2)

sen A−sen B=2cos((A+B)/2)·sen((A−B)/2)

cos A+cos B=2cos((A+B)/2)·cos((A−B)/2)

cos A−cos B=−2sen((A+B)/2)·sen((A−B)/2)

Vídeo 1. Sumas y diferencias

Vídeo 2. Sumas y diferencias

Vídeo 3. Sumas y diferencias

Vídeo 4. Sumas y diferencias

Vídeo 5. Sumas y diferencias

2. Ecuaciones trigonométricas

Son ecuaciones en las que aparecen funciones trigonométricas actuando sobre un ángulo, que es la incógnita. Las soluciones deben satisfacer la ecuación inicial, pues pueden aparecer soluciones extrañas.

Solución extraña: valor obtenido durante la resolución que no cumple la ecuación inicial y debe descartarse.

Ejemplo 4. Resolver tg α=−√3

La tangente es negativa en los cuadrantes II y IV y el ángulo de referencia es 60°.

α₁=120°=2π/3 y α₂=300°=5π/3

α=120°+k·180°=2π/3+kπ, k∈ℤ

Vídeo 1

Vídeo 2

Vídeo 3

Vídeo 4

3. Funciones trigonométricas

Tabla de valores del tema para construir las representaciones gráficas:

Grados	Radianes	sen	cos	tg
0	0	0	1	0
30	π/6	1/2	√3/2	√3/3
45	π/4	√2/2	√2/2	1
60	π/3	√3/2	1/2	√3
90	π/2	1	0	—
120	2π/3	√3/2	−1/2	−√3
135	3π/4	√2/2	−√2/2	−1
150	5π/6	1/2	−√3/2	−√3/3
180	π	0	−1	0
210	7π/6	−1/2	−√3/2	√3/3
225	5π/4	−√2/2	−√2/2	1
240	4π/3	−√3/2	−1/2	√3
270	3π/2	−1	0	—
300	5π/3	−√3/2	1/2	−√3
315	7π/4	−√2/2	√2/2	−1
330	11π/6	−1/2	√3/2	−√3/3
360	2π	0	1	0