1 BACHILLERATO: TRIGONOMETRÍA Y APLICACIONES

Tema 2. Trigonometría

Matemáticas I · 1.º de Bachillerato

Contenidos de este bloque

1. Medida de ángulos: grados y radianes.
2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
3. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
4. Representación de la tangente.
5. Ángulos notables: deducción de 30°, 45° y 60°.
6. Reducción al primer cuadrante.
7. Ejercicios propuestos I.
8. Ejercicios propuestos II: reducción al primer cuadrante.
9. Ejemplo 4: cálculo a partir de un ángulo conocido.
10. Ejemplo 5: ángulos sujetos a varias condiciones.
11. Ángulos fuera del intervalo de 0° a 360°.
12. Ejercicios propuestos III.
13. Identidades trigonométricas.
14. Ejercicios finales del tema.

1. Medida de ángulos: grados y radianes

• Grado sexagesimal: es la medida del ángulo central correspondiente a 1360 de una vuelta completa.
• Radián: es la medida del ángulo central que abarca un arco cuya longitud coincide con el radio de la circunferencia.

Una vuelta completa equivale a:

360° = 2π rad    y    180° = π rad

Por tanto:

Grados → radianes:   α° · π180

Radianes → grados:   α · 180π

Ejemplo 1. Convertir 135° a radianes

Expresa 135° en radianes:

135 · π180 = 3π4 rad

Ejemplo 2. Convertir 5π/6 radianes a grados

Expresa 5π6 radianes en grados:

5π6 · 180π = 150°

Conclusión: cualquier ángulo puede expresarse tanto en grados sexagesimales como en radianes.

Atención con la calculadora: comprueba si está en modo DEG (grados) o RAD (radianes) antes de operar.

Vídeo 1. Conversión entre grados y radianes

2. Razones trigonométricas de un ángulo agudo

La trigonometría estudia las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. En un triángulo rectángulo, los lados se nombran respecto del ángulo α.

sen α = cateto opuestohipotenusa

cosec α = 1sen α = hipotenusacateto opuesto

cos α = cateto contiguohipotenusa

sec α = 1cos α = hipotenusacateto contiguo

tg α = cateto opuestocateto contiguo

cotg α = 1tg α = cateto contiguocateto opuesto

Vídeo 2. Razones trigonométricas y ángulos complementarios

Interpretación mediante segmentos

sen α = BCAB;   cos α = ACAB;   tg α = BCAC

Identidad trigonométrica fundamental

sen² α + cos² α = 1

Se obtiene directamente del teorema de Pitágoras:

sen² α + cos² α = BC²AB² + AC²AB² = BC² + AC²AB² = AB²AB² = 1

Ejemplo. Triángulo de lados 5, 12 y 13

Por Pitágoras, la hipotenusa es:

b² = 12² + 5² = 169  →  b = 13 cm

Para el ángulo Â:

sen  = 513;   cos  = 1213;   tg  = 512

cosec  = 135;   sec  = 1312;   cotg  = 125

 = arcsen 513 = 22,62°

Para el ángulo Ĉ:

sen Ĉ = 1213;   cos Ĉ = 513;   tg Ĉ = 125

Ĉ = arcsen 1213 = 67,38°

Observa:  + Ĉ = 90°. Además, sen  = cos Ĉ, cos  = sen Ĉ y tg  = cotg Ĉ.

3. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

La circunferencia goniométrica tiene centro en el origen de coordenadas y radio 1. Los ángulos positivos se recorren en sentido contrario a las agujas del reloj.

Cuadrante	Intervalo
I	0° < α < 90°
II	90° < α < 180°
III	180° < α < 270°
IV	270° < α < 360°

Si A(x,y) es el punto en el que el lado final del ángulo corta la circunferencia:

sen α = y;    cos α = x;    tg α = yx

Ángulo	sen α	cos α	tg α
0°	0	1	0
90°	1	0	No existe
180°	0	-1	0
270°	-1	0	No existe
360°	0	1	0

Vídeo 3. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera: signos y ejes

Signos según el cuadrante

Seno

Coseno

Tangente

4. Representación de la tangente

La tangente puede interpretarse sobre la recta tangente a la circunferencia goniométrica en el punto (1,0). La prolongación del lado final del ángulo corta esa recta a una altura igual a tg α.

Importante: tg 90° y tg 270° no existen. En esos ángulos, el lado final es paralelo a la recta tangente y ambas rectas nunca se cortan.

5. Ángulos notables: 30°, 45° y 60°

Ejemplo 3. Deducción de las razones de 30°, 45° y 60°

Vamos a deducir sus valores exactos, en lugar de limitarnos a memorizarlos.

Conversión a radianes

45° = 45 · π180 = π4;   30° = π6;   60° = π3

Razones trigonométricas de 45°

El radio que forma 45° es la bisectriz del primer cuadrante. Por ello, las coordenadas del punto son iguales: x = y, de modo que sen 45° = cos 45°.

x² + y² = 1 → 2x² = 1 → x = 1√2 = √22

sen 45° = cos 45° = √22;   tg 45° = 1

Vídeo 4. Razones trigonométricas de 45°

Razones trigonométricas de 30°

Partimos de sen 30° = 1/2 y aplicamos la identidad fundamental:

cos² 30° + (12)² = 1 → cos² 30° = 34 → cos 30° = √32

tg 30° = sen 30°cos 30° = √33

Razones trigonométricas de 60°

Como 30° + 60° = 90°, ambos ángulos son complementarios:

sen 30° = cos 60° = 12;   cos 30° = sen 60° = √32;   tg 60° = √3

Vídeo 5. Razones trigonométricas de 30° y 60°

Ángulo	sen	cos	tg
30°	12	√32	√33
45°	√22	√22	1
60°	√32	12	√3

6. Reducción al primer cuadrante

Sea α el ángulo agudo de referencia y β el ángulo que queremos estudiar. Las coordenadas de la circunferencia goniométrica permiten obtener las razones de β a partir de las de α.

Segundo cuadrante: 90° < β < 180°

β = 180° − α;   sen β = sen α;   cos β = −cos α;   tg β = −tg α

Tercer cuadrante: 180° < β < 270°

β = 180° + α;   sen β = −sen α;   cos β = −cos α;   tg β = tg α

Cuarto cuadrante: 270° < β < 360°

β = 360° − α;   sen β = −sen α;   cos β = cos α;   tg β = −tg α

Resumen: en el segundo cuadrante solo el seno es positivo; en el tercero solo la tangente; y en el cuarto solo el coseno.

Vídeos: razones trigonométricas de un ángulo cualquiera

Vídeo 6. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera II

Vídeo 7. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera III: ejercicios resueltos

7. Ejercicios propuestos I

1. Sabiendo que el ángulo α está en el segundo cuadrante (90° < α < 180°) y sen α = 0,62, calcula cos α y tg α.

2. Sabiendo que el ángulo α está en el tercer cuadrante (180° < α < 270°) y cos α = −0,83, calcula sen α y tg α.

3. Sabiendo que el ángulo α está en el cuarto cuadrante (270° < α < 360°) y tg α = −0,92, calcula sen α y cos α.

4. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla. Utiliza los ángulos notables y los signos de cada cuadrante.

	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
sen	0	12	√22	√32	1
cos	1	√32			0
tg	0	√33			No existe

En pantallas pequeñas, desplaza la tabla horizontalmente.

8. Ejercicios propuestos II

Aplica las relaciones entre cuadrantes y utiliza correctamente el signo de cada razón trigonométrica.

5. Calcula las razones trigonométricas de 55°, 125°, 145°, 215°, 235°, 305° y 325° a partir de las razones trigonométricas de 35°:

sen 35° = 0,57;    cos 35° = 0,82;    tg 35° = 0,70

6. Averigua las razones trigonométricas de 358°, 156° y 342°. Utiliza la calculadora únicamente para hallar razones trigonométricas de ángulos comprendidos entre 0° y 90°.

7. Dibuja, sobre la circunferencia goniométrica, ángulos que cumplan las siguientes condiciones y estima, en cada caso, el valor de las restantes razones trigonométricas:

a) sen α = −12,  tg α > 0

b) cos α = 34,  α > 90°

c) tg α = −1,  cos α < 0

d) tg α = 2,  cos α < 0

e) sen α = −1

f) cos α = 0,  sen α > 0

Copia la circunferencia en tu cuaderno y representa en ella cada apartado.

9. Ejemplo 4. Reducción al primer cuadrante

Calculamos las razones trigonométricas de 55°, 125°, 145°, 215°, 235°, 305° y 325° a partir de los siguientes datos:

sen 35° = 0,57;    cos 35° = 0,82;    tg 35° = 0,70

Ángulo de 55°

Como 90° − 55° = 35°, los ángulos 35° y 55° son complementarios.

sen 55° = cos 35° = 0,82

cos 55° = sen 35° = 0,57

tg 55° = sen 55°cos 55° = 0,820,57 ≈ 1,44

Ángulo de 145°

145° = 180° − 35°. Está en el segundo cuadrante.

sen 145° = sen 35° = 0,57

cos 145° = −cos 35° = −0,82

tg 145° = 0,57−0,82 ≈ −0,695

Ángulo de 125°

125° = 180° − 55°. Está en el segundo cuadrante.

sen 125° = sen 55° = cos 35° = 0,82

cos 125° = −cos 55° = −sen 35° = −0,57

tg 125° = 0,82−0,57 ≈ −1,44

Ángulo de 215°

215° = 180° + 35°. Está en el tercer cuadrante.

sen 215° = −sen 35° = −0,57

cos 215° = −cos 35° = −0,82

tg 215° = −0,57−0,82 ≈ 0,695

Ángulo de 235°

235° = 180° + 55°. Está en el tercer cuadrante.

sen 235° = −sen 55° = −cos 35° = −0,82

cos 235° = −cos 55° = −sen 35° = −0,57

tg 235° = −0,82−0,57 ≈ 1,44

Ángulo de 325°

325° = 360° − 35°. Está en el cuarto cuadrante.

sen 325° = −sen 35° = −0,57

cos 325° = cos 35° = 0,82

tg 325° = −0,570,82 ≈ −0,695

Ángulo de 305°

305° = 360° − 55°. Está en el cuarto cuadrante.

sen 305° = −sen 55° = −cos 35° = −0,82

cos 305° = cos 55° = sen 35° = 0,57

tg 305° = −0,820,57 ≈ −1,44

10. Ejemplo 5. Ángulos que cumplen varias condiciones

a) sen α = −1/2 y tg α > 0

El seno es negativo en los cuadrantes tercero y cuarto, mientras que la tangente es positiva en el primero y el tercero. Ambas condiciones coinciden únicamente en el tercer cuadrante.

Como sen 30° = 1/2, el ángulo de referencia es 30°:

α = 180° + 30° = 210°

sen 210° = −12;   cos 210° = −√32;   tg 210° = √33

b) cos α = 3/4 y α > 90°

El coseno es positivo en los cuadrantes primero y cuarto. La condición α > 90° sitúa el ángulo en el cuarto cuadrante.

α = 360° − arccos(34) ≈ 318,59°

sen α = −√74 ≈ −0,661;   cos α = 34;   tg α = −√73 ≈ −0,882

c) tg α = −1 y cos α < 0

La tangente es negativa en los cuadrantes segundo y cuarto, y el coseno es negativo en el segundo y el tercero. Las dos condiciones coinciden en el segundo cuadrante. El ángulo de referencia es 45°.

α = 180° − 45° = 135°

sen 135° = √22;   cos 135° = −√22;   tg 135° = −1

d) tg α = 2 y cos α < 0

La tangente es positiva en los cuadrantes primero y tercero, y el coseno es negativo en el segundo y el tercero. Por tanto, α está en el tercer cuadrante.

α = 180° + arctg 2 ≈ 243,43°

sen α = −2√5 ≈ −0,894;   cos α = −1√5 ≈ −0,447;   tg α = 2

e) sen α = −1

El seno alcanza su valor mínimo en el punto inferior de la circunferencia goniométrica.

α = 270°

sen 270° = −1;   cos 270° = 0;   tg 270° no existe

f) cos α = 0 y sen α > 0

El coseno vale 0 en 90° y 270°. Como el seno debe ser positivo, elegimos el punto superior de la circunferencia.

α = 90°

sen 90° = 1;   cos 90° = 0;   tg 90° no existe

11. Ángulos fuera del intervalo de 0° a 360°

Dos ángulos que se diferencian en un número entero de vueltas completas tienen las mismas razones trigonométricas. Para reducir un ángulo, sumamos o restamos múltiplos de 360° hasta obtener otro equivalente dentro del intervalo [0°, 360°).

Ángulos mayores de 360°

Procedimiento: expresamos el ángulo como α = 360° · k + β, donde k es un número entero y 0° ≤ β < 360°.

Ejemplo 6. Calcular sen 13290°

13290° = 36 · 360° + 330°

El ángulo equivalente es 330°, situado en el cuarto cuadrante.

sen 13290° = sen 330° = sen(360° − 30°) = −sen 30°

sen 13290° = −12

Ejemplo 7. Calcular tg 3825°

3825° = 10 · 360° + 225°

El ángulo equivalente es 225°, situado en el tercer cuadrante.

tg 3825° = tg 225° = tg(180° + 45°) = tg 45°

tg 3825° = 1

Vídeo 8. Ángulos mayores de 360°

Ángulos menores de 0°

Procedimiento: sumamos vueltas completas de 360° hasta obtener un ángulo positivo equivalente dentro del intervalo [0°, 360°).

Ejemplo 8. Calcular cos(−1680°)

1680° = 4 · 360° + 240°

−240° + 360° = 120°

El ángulo equivalente es 120°, situado en el segundo cuadrante.

cos(−1680°) = cos 120° = cos(180° − 60°) = −cos 60°

cos(−1680°) = −12

Ejemplo 9. Calcular sen(−1710°)

1710° = 4 · 360° + 270°

−270° + 360° = 90°

sen(−1710°) = sen(−270°) = sen 90° = 1

12. Ejercicios propuestos III

Reduce los ángulos sumando o restando vueltas completas de 360° y aplica después las razones trigonométricas del ángulo equivalente.

8. Pasa cada uno de los siguientes ángulos al intervalo [0°, 360°) y al intervalo (−180°, 180°]:

a) 396°

b) 492°

c) 645°

d) 3895°

e) 7612°

f) 1980°

9. Determina el valor exacto de las siguientes razones trigonométricas:

a) sen 13290°

b) cos(−1680°)

c) tg 3825°

d) cos 4995°

e) sen(−1710°)

f) tg 3630°

g) cos(−36000°)

h) sen(−330°)

13. Identidades trigonométricas

Las siguientes relaciones permiten transformar expresiones trigonométricas y calcular unas razones a partir de otras:

sen² α + cos² α = 1

1 + tg² α = 1cos² α = sec² α

1 + cotg² α = 1sen² α = cosec² α

Razones que ya conocemos

tg α = sen αcos α;    cotg α = cos αsen α

sec α = 1cos α;    cosec α = 1sen α

Reto: intenta deducir de dónde salen estas identidades a partir de sen² α + cos² α = 1 y de las definiciones anteriores.

Vídeo 9. Identidades trigonométricas

14. Ejercicios finales de trigonometría

Accede a la colección final de ejercicios para repasar todos los contenidos del tema.

Ver ejercicios finales

Ver soluciones de los ejercicios finales

Tema 2.2. Trigonometría

Aplicaciones de la trigonometría

Índice

1. Resolución de triángulos rectángulos
2. Notación de lados y ángulos
3. Ejemplo 1: dos lados conocidos
4. Ejemplo 2: un lado y un ángulo conocidos
5. Vídeo 1: resolución de triángulos rectángulos
6. Vídeo 2: cálculo de alturas mediante tangentes
7. Teorema del seno
8. Ejemplo 3: resolución mediante el teorema del seno
9. Teorema del coseno
10. Ejemplo 4: resolución mediante los teoremas del coseno y del seno
11. Ejercicios propuestos I
12. Resolución de triángulos cualesquiera
13. Ejemplo 5: dos ángulos y un lado
14. Ejemplo 6: dos lados y el ángulo comprendido
15. Ejemplo 7: dos lados y un ángulo no comprendido
16. Vídeo 3: resolución de triángulos cualesquiera
17. Ejercicios propuestos II
18. Aplicaciones de trigonometría: longitudes, áreas y volúmenes
19. Figuras planas
20. Volúmenes de figuras regulares
21. Ejercicios propuestos III
22. Vídeo 4: polígonos regulares
23. Vídeo 5: trapecios rectángulos e isósceles
24. Vídeo 6: volúmenes
25. Ejercicios finales y soluciones
26. Soluciones de los ejercicios propuestos
27. Exámenes de otros años
28. Vídeo 7: prueba de clase 2023
29. Curiosidad: distancia hasta el horizonte
30. Tutor socrático

1. Resolución de triángulos rectángulos

Resolver un triángulo consiste en calcular sus elementos desconocidos —lados y ángulos— utilizando los tres elementos conocidos.

En un triángulo rectángulo ya conocemos uno de sus ángulos: mide 90°. Para calcular los demás elementos podemos utilizar:

• El teorema de Pitágoras.
• Las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente.
• La suma de los ángulos interiores: 180°.

Notación de lados y ángulos

Cada lado se representa con la misma letra que su ángulo opuesto: el ángulo se escribe con mayúscula y el lado con minúscula.

El lado a está frente al ángulo A; b, frente a B; y c, frente a C.

Ejemplo 1. Conocemos el ángulo recto y dos lados

En el siguiente triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 15 cm y un cateto mide 9 cm. Calcula el cateto desconocido y los dos ángulos agudos.

1. Calculamos el cateto desconocido

a² = b² + c²

15² = 9² + c²  ⟹  c = √(15² − 9²) = 12 cm

2. Calculamos el ángulo C

cos C = 9/15  ⟹  C = arccos(9/15) = 53,13°

3. Calculamos el ángulo B

180° = 90° + 53,13° + B  ⟹  B = 36,87°

Solución: c = 12 cm, B = 36,87° y C = 53,13°.

Ejemplo 2. Conocemos el ángulo recto, otro ángulo y un lado

En el siguiente triángulo rectángulo conocemos B = 40° y el cateto opuesto b = 9 cm. Calcula el ángulo y los lados que faltan.

1. Calculamos el ángulo C

180° = 90° + 40° + C  ⟹  C = 50°

2. Calculamos la hipotenusa

sen 40° = 9/a  ⟹  a = 9/sen 40° ≈ 14 cm

3. Calculamos el otro cateto

tg 40° = 9/c  ⟹  c = 9/tg 40° ≈ 10,73 cm

Solución: C = 50°, a ≈ 14 cm y c ≈ 10,73 cm.

Vídeo 1. Resolución de triángulos rectángulos

Vídeo 2. Ejercicios de aplicación: cálculo de alturas por medio de las tangentes

2. Teoremas del seno y del coseno

Teorema del seno

En cualquier triángulo, cada lado es proporcional al seno del ángulo opuesto.

asen A = bsen B = csen C

Ejemplo 3. Resuelve el siguiente triángulo

Se conocen el lado b = 5 cm y los ángulos B = 40° y C = 60°. Calcula el resto de sus elementos.

Como la suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180°:

180° = 60° + 40° + A  ⟹  A = 80°

Para calcular los lados a y c utilizamos el teorema del seno:

asen 80° = 5sen 40° = csen 60°

Calculamos a:

asen 80° = 5sen 40°  ⟹  a = 5 · sen 80°sen 40° ≈ 7,66 cm

Calculamos c:

5sen 40° = csen 60°  ⟹  c = 5 · sen 60°sen 40° ≈ 6,74 cm

Solución: A = 80°, a ≈ 7,66 cm y c ≈ 6,74 cm.

Teorema del coseno

En cualquier triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble veces su producto por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.

a² = b² + c² - 2bc · cos A

b² = a² + c² - 2ac · cos B

c² = a² + b² - 2ab · cos C

Ejemplo 4. Resuelve el triángulo de lados 7 cm, 4 cm y 6 cm

Conocemos los tres lados: a = 7 cm, b = 4 cm y c = 6 cm. Calcularemos primero el ángulo A mediante el teorema del coseno.

1. Calculamos el ángulo A

7² = 4² + 6² - 2 · 4 · 6 · cos A

cos A = 4² + 6² - 7²2 · 4 · 6 = 0,0625  ⟹  A ≈ 86,42°

Para calcular otro ángulo podríamos volver a aplicar el teorema del coseno, pero resulta más práctico utilizar el teorema del seno.

2. Calculamos el ángulo B

7sen 86,42° = 4sen B

sen B = 4 · sen 86,42°7 ≈ 0,57  ⟹  B ≈ 34,77°

3. Calculamos el ángulo C

180° = 86,42° + 34,77° + C  ⟹  C ≈ 58,81°

Solución: A ≈ 86,42°, B ≈ 34,77° y C ≈ 58,81°.

Ejercicios propuestos I

1. Resuelve los siguientes triángulos:

   1. A = 65°, a = 14 cm y c = 15 cm.
   2. C = 41°, b = 6 cm y c = 6 cm.

2. Encuentra el tercer lado de un recinto triangular si dos de sus lados miden 100 m y 120 m y forman un ángulo de 60°.

3. Resuelve los siguientes triángulos:

   1. a = 9,85 cm, b = 6 cm y c = 5 cm.
   2. a = 4 cm, b = 7 cm y c = 9,5 cm.

3. Resolución de triángulos cualesquiera

Para resolver triángulos cualesquiera se utilizan los teoremas del seno y del coseno, teniendo en cuenta que la suma de sus ángulos es 180°.

Si el triángulo fuera rectángulo, bastaría con aplicar el teorema de Pitágoras, las razones trigonométricas y la suma de sus ángulos.

Según los datos conocidos puede existir más de un triángulo solución. Además, puede haber distintos caminos válidos para resolver un mismo ejercicio.

Ejemplo 5. Conocemos dos ángulos y un lado

Resuelve el triángulo en el que a = 4 cm, B = 35° y C = 60°.

Calculamos el ángulo A:

A = 180° - 60° - 35° = 85°

Aplicamos el teorema del seno:

4sen 85° = bsen 35° = csen 60°

b = 4 · sen 35°sen 85° ≈ 2,30 cm

c = 4 · sen 60°sen 85° ≈ 3,48 cm

Solución: A = 85°, b ≈ 2,30 cm y c ≈ 3,48 cm.

Ejemplo 6. Conocemos dos lados y el ángulo comprendido

Resuelve el triángulo en el que a = 4 cm, b = 6 cm y C = 50°.

Calculamos c mediante el teorema del coseno:

c² = 4² + 6² - 2 · 4 · 6 · cos 50° ≈ 21,15  ⟹  c ≈ 4,60 cm

Calculamos A mediante el teorema del seno:

4sen A = 4,60sen 50°

sen A = 4 · sen 50°4,60 ≈ 0,67  ⟹  A ≈ 41,77°

Por último:

B = 180° - 50° - 41,77° = 88,23°

Solución: c ≈ 4,60 cm, A ≈ 41,77° y B ≈ 88,23°.

Ejemplo 7. Conocemos dos lados y un ángulo no comprendido

Resuelve el triángulo en el que a = 20 cm, b = 15 cm y A = 40°.

Calculamos B aplicando el teorema del seno:

20sen 40° = 15sen B

sen B = 15 · sen 40°20 ≈ 0,48  ⟹  B ≈ 28,82°

Por último:

C = 180° - 40° - 28,82° = 111,18°

Solución: B ≈ 28,82° y C ≈ 111,18°.

Vídeo 3. Resolución de triángulos cualesquiera: teoremas del seno y del coseno

Ejercicios propuestos II

1. Resuelve los siguientes triángulos:

   1. Se conocen sus tres lados: 6 cm, 7 cm y 8 cm.
   2. Se conocen dos ángulos de 22° y 110° y el lado comprendido entre ellos, que mide 8 cm.

2. Resuelve los siguientes triángulos y clasifícalos:

   1. a = 25 cm, b = 30 cm y B = 38°.
   2. a = 15 cm, b = 55 cm y c = 45 cm.

3. Calcula el perímetro de un triángulo cuyos lados miden 40 cm y 45 cm y cuyo ángulo comprendido mide 44°.

4. Aplicaciones de trigonometría: longitudes, áreas y volúmenes

Un polígono es regular cuando todos sus lados son iguales y todos sus ángulos interiores tienen la misma medida. La trigonometría permite calcular longitudes, áreas y volúmenes a partir de los triángulos que aparecen al trazar alturas, diagonales, radios o apotemas.

Figuras planas

Triángulo

Área = b · h2

Área = a · b · sen C2

Cuadrado

Área = l²

Al trazar las diagonales se forman triángulos rectángulos e isósceles.

Paralelogramo

Área = b · h

Al trazar la altura se forma un triángulo rectángulo.

Rombo

Área = d · D2

Las diagonales dividen el rombo en cuatro triángulos rectángulos iguales. Cada uno tiene área:

A₁ = A₂ = A₃ = A₄ = (d/2) · (D/2)2 = d · D8

A_total = 4 · d · D8 = d · D2

Polígono regular

Si l es el lado, r el radio, a la apotema y n el número de lados, el ángulo del triángulo rectángulo central es:

α = 180°n

sen α = l/2r  ⟹  r = l2 · sen(180°/n)

tg α = l/2a  ⟹  a = l2 · tg(180°/n)

Circunferencia

Área = πr²

Longitud = 2πr

Volúmenes de figuras regulares

Cubo

Volumen = l³

Las diagonales forman triángulos rectángulos: la diagonal de una cara es d = l√2 y la diagonal entre vértices opuestos es D = l√3.

Prisma

Volumen = A_base · h

Pirámide

Volumen = A_base · h3

Al trazar la altura se forma un triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura h y la apotema de la base a; la apotema lateral g es la hipotenusa.

Ejercicios propuestos III

1. El lado de un polígono regular de 15 lados mide 50 cm. Calcula el radio y la apotema.

2. Indica el número de lados de un polígono regular cuyo radio mide 24,27 cm y cuyo lado mide 15 cm.

3. Halla el área de los siguientes triángulos:

   1. a = 15 cm, b = 24 cm y c = 15 cm.
   2. A = 75°, b = 15 cm y c = 18 cm.

4. Calcula el perímetro y el área de un trapecio rectángulo cuyas bases miden 8 cm y 4 cm y cuya altura mide 3 cm.

5. Halla el área de un tetraedro regular de lado 5 cm.

6. Calcula el área de un sector circular de radio 4 cm y cuyo arco mide 8 cm.

7. Halla el área de un eneágono regular de perímetro 63 cm.

8. Calcula la superficie de un prisma de altura 5 cm y cuya base es un triángulo rectángulo isósceles de catetos 2 cm.

9. El volumen de una pirámide es de 1000 m³, su base es un cuadrado y el ángulo que forman las alturas laterales con la base es de 30°. ¿Cuál es la longitud del lado de la base? ¿Y la altura de la pirámide?

Vídeo 4. Aplicación de trigonometría: polígonos regulares de n lados

Vídeo 5. Aplicación de trigonometría: trapecios rectángulos e isósceles

Vídeo 6. Aplicación de trigonometría: volúmenes

Ejercicios finales de trigonometría

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Soluciones de los ejercicios propuestos I, II y III

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Exámenes de otros años

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Vídeo 7. Prueba de clase 2023

Curiosidad: ¿hasta qué distancia podemos observar al mirar hacia el horizonte?

Una aplicación de la geometría y la trigonometría para calcular la distancia visible hasta el horizonte.

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