Repaso de Fracciones, Potencias y Raíces
Matemáticas · 3.º ESO
1. Fracciones
Una fracción representa el cociente entre dos números enteros:
Antes de operar conviene simplificar las fracciones siempre que sea posible. Para obtener la fracción irreducible se divide numerador y denominador entre su máximo común divisor.
Ejemplo. Simplificación de una fracción
1.1. Suma y resta de fracciones
Mismo denominador: se suman o restan los numeradores y se conserva el denominador.
Distinto denominador: se calcula el mínimo común múltiplo de los denominadores, se obtienen fracciones equivalentes y después se operan los numeradores.
Ejemplo. Suma con igual denominador
Ejemplo. Resta con distinto denominador
El m.c.m. de 4 y 6 es 12.
1.2. Producto y división de fracciones
Producto: se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí. Es recomendable simplificar en cruz antes de multiplicar.
Ejemplo. Producto de fracciones
División: se multiplica la primera fracción por la inversa de la segunda.
Ejemplo. División de fracciones
1.3. Operaciones combinadas con fracciones
Se respeta este orden:
- Paréntesis, corchetes y llaves, desde dentro hacia fuera.
- Potencias y raíces.
- Multiplicaciones y divisiones, de izquierda a derecha.
- Sumas y restas, de izquierda a derecha.
Ejemplo resuelto paso a paso
Primero resolvemos el paréntesis:
Después efectuamos la división:
Finalmente:
2. Potencias
En an, a es la base y n es el exponente. Si la base es negativa, los paréntesis son esenciales: (-2)4 = 16, mientras que -24 = -16.
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto de igual base | am · an = am+n | 23 · 25 = 28 |
| Cociente de igual base | am : an = am-n | 76 : 72 = 74 |
| Potencia de una potencia | (am)n = am·n | (32)4 = 38 |
| Potencia de un producto | (a·b)n = an·bn | (2·5)3 = 23·53 |
| Potencia de un cociente | (a/b)n = an/bn | (2/3)2 = 4/9 |
| Exponente cero | a0 = 1 | (-8)0 = 1 |
| Exponente negativo | a-n = 1/an | 5-2 = 1/25 |
| Exponente uno | a1 = a | 121 = 12 |
Ejemplo. Expresa como una sola potencia
Ejemplo. Bases diferentes con el mismo exponente
3. Raíces
La raíz n-ésima de un número a es el número que, elevado a n, da a:
Si el índice es par, el radicando debe ser no negativo para trabajar con números reales. Si el índice es impar, el radicando puede ser positivo o negativo.
| Propiedad | Regla | Ejemplo |
|---|---|---|
| Producto con igual índice | n√a · n√b = n√ab | √2 · √8 = √16 = 4 |
| Cociente con igual índice | n√a : n√b = n√a/b | √48 : √3 = √16 = 4 |
| Raíz de una raíz | m√n√a = m·n√a | √(³√64) = ⁶√64 = 2 |
| Potencia de una raíz | (n√a)m = n√am | (³√2)4 = ³√16 |
3.1. Cómo pasar raíces a potencias
Ejemplo. De radical a potencia
Ejemplo. De potencia fraccionaria a radical
3.2. Cómo extraer factores de una raíz de cualquier índice
Se descompone el radicando en factores y se agrupan exponentes en múltiplos del índice. Si m = n·q + r, entonces:
En los ejemplos con letras suponemos que las variables son positivas.
Ejemplo. Raíz cuadrada
Ejemplo. Raíz cúbica
Ejemplo. Raíz de índice cinco con letras
Ejemplo. Operación con radicales semejantes
4. Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos I: ejercicios de refuerzo
Ficha de refuerzo centrada principalmente en potencias, radicales, simplificación y extracción de factores.
Ejercicios propuestos II: prueba de clase de 1 de octubre
Prueba de 3.º ESO con fracciones, operaciones combinadas, números reales e intervalos.
Ejercicios propuestos III: prueba de clase de 31 de octubre
Prueba de 3.º ESO sobre potencias, notación científica y operaciones con radicales.
5. Soluciones
Soluciones de los ejercicios propuestos I
Soluciones de los ejercicios propuestos II
Soluciones de los ejercicios propuestos III
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